Calcul infinitésimal Exemples

$\int {(x^{\frac{3}{2}} + 8)}^{5} \sqrt{x} d x$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$\int ({(x^{\frac{3}{2}})}^{5} + 5 {(x^{\frac{3}{2}})}^{4} \cdot 8 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{5}$ .

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Étape 1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{3}{2} \cdot 5} + 5 {(x^{\frac{3}{2}})}^{4} \cdot 8 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot 5$ .

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Étape 1.2.1.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $5$ .

$\int (x^{\frac{3 \cdot 5}{2}} + 5 {(x^{\frac{3}{2}})}^{4} \cdot 8 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.1.2.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 5 {(x^{\frac{3}{2}})}^{4} \cdot 8 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{4}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2} \cdot 4} \cdot 8 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2} \cdot (2 (2))} \cdot 8 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 5 x^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot 2)} \cdot 8 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 5 x^{3 \cdot 2} \cdot 8 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 5 x^{6} \cdot 8 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.3

Multipliez $8$ par $5$ .

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{3}$ .

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Étape 1.2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 10 x^{\frac{3}{2} \cdot 3} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $\frac{3}{2} \cdot 3$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $3$ .

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 10 x^{\frac{3 \cdot 3}{2}} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.4.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 10 x^{\frac{9}{2}} \cdot 8^{2} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.5

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 10 x^{\frac{9}{2}} \cdot 64 + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.6

Multipliez $64$ par $10$ .

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 640 x^{\frac{9}{2}} + 10 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.7

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 640 x^{\frac{9}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 640 x^{\frac{9}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 640 x^{\frac{9}{2}} + 10 x^{3} \cdot 8^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.8

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 640 x^{\frac{9}{2}} + 10 x^{3} \cdot 512 + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.9

Multipliez $512$ par $10$ .

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 640 x^{\frac{9}{2}} + 5120 x^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 8^{4} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.10

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 640 x^{\frac{9}{2}} + 5120 x^{3} + 5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 4096 + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.11

Multipliez $4096$ par $5$ .

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 640 x^{\frac{9}{2}} + 5120 x^{3} + 20480 x^{\frac{3}{2}} + 8^{5}) \sqrt{x} d x$

Étape 1.2.12

Élevez $8$ à la puissance $5$ .

$\int (x^{\frac{15}{2}} + 40 x^{6} + 640 x^{\frac{9}{2}} + 5120 x^{3} + 20480 x^{\frac{3}{2}} + 32768) \sqrt{x} d x$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int x^{\frac{15}{2}} \sqrt{x} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $x^{\frac{15}{2}} \sqrt{x}$ .

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Étape 1.4.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{15}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{\frac{15}{2} + \frac{1}{2}} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{\frac{15 + 1}{2}} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.1.4

Additionnez $15$ et $1$ .

$\int x^{\frac{16}{2}} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.1.5

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 1.4.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 8}{2}} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int x^{\frac{2 \cdot 8}{2 (1)}} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int x^{\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int x^{\frac{8}{1}} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.1.5.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.2

Multipliez $640 x^{\frac{9}{2}} \sqrt{x}$ .

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Étape 1.4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{9}{2}}) + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{1}{2} + \frac{9}{2}} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{1 + 9}{2}} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.2.4

Additionnez $1$ et $9$ .

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{10}{2}} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.2.5

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 1.4.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{2 \cdot 5}{2}} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{2 \cdot 5}{2 (1)}} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1}} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{\frac{5}{1}} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.2.5.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.3

Multipliez $20480 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x}$ .

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Étape 1.4.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{1 + 3}{2}} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.3.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{4}{2}} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.3.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.4.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{\frac{2}{1}} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 1.4.3.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$\int x^{8} + 40 x^{6} \sqrt{x} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{8} + 40 x^{6} x^{\frac{1}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 2.2

Multipliez $x^{6}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{8} + 40 (x^{\frac{1}{2}} x^{6}) + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{1}{2} + 6} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 2.2.3

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 2.2.4

Associez $6$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{1}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{1 + 6 \cdot 2}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{1 + 12}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 2.2.6.2

Additionnez $1$ et $12$ .

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{13}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} \sqrt{x} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 2.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{13}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{3} x^{\frac{1}{2}} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 2.4

Multipliez $x^{3}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{13}{2}} + 640 x^{5} + 5120 (x^{\frac{1}{2}} x^{3}) + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 2.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{13}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{\frac{1}{2} + 3} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 2.4.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{13}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 2.4.4

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{13}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 2.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{13}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 2.4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.6.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{13}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{\frac{1 + 6}{2}} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 2.4.6.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$\int x^{8} + 40 x^{\frac{13}{2}} + 640 x^{5} + 5120 x^{\frac{7}{2}} + 20480 x^{2} + 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{8} d x + \int 40 x^{\frac{13}{2}} d x + \int 640 x^{5} d x + \int 5120 x^{\frac{7}{2}} d x + \int 20480 x^{2} d x + \int 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{8}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{9} x^{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{9} + C + \int 40 x^{\frac{13}{2}} d x + \int 640 x^{5} d x + \int 5120 x^{\frac{7}{2}} d x + \int 20480 x^{2} d x + \int 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 5

Comme $40$ est constant par rapport à $x$ , placez $40$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 \int x^{\frac{13}{2}} d x + \int 640 x^{5} d x + \int 5120 x^{\frac{7}{2}} d x + \int 20480 x^{2} d x + \int 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{13}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}}$ .

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + \int 640 x^{5} d x + \int 5120 x^{\frac{7}{2}} d x + \int 20480 x^{2} d x + \int 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 7

Comme $640$ est constant par rapport à $x$ , placez $640$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + 640 \int x^{5} d x + \int 5120 x^{\frac{7}{2}} d x + \int 20480 x^{2} d x + \int 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + 640 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int 5120 x^{\frac{7}{2}} d x + \int 20480 x^{2} d x + \int 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 9

Comme $5120$ est constant par rapport à $x$ , placez $5120$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + 640 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5120 \int x^{\frac{7}{2}} d x + \int 20480 x^{2} d x + \int 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{7}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + 640 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5120 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C) + \int 20480 x^{2} d x + \int 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 11

Comme $20480$ est constant par rapport à $x$ , placez $20480$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + 640 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5120 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C) + 20480 \int x^{2} d x + \int 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + 640 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5120 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C) + 20480 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 32768 \sqrt{x} d x$

Étape 13

Comme $32768$ est constant par rapport à $x$ , placez $32768$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + 640 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5120 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C) + 20480 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 32768 \int \sqrt{x} d x$

Étape 14

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + 640 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5120 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C) + 20480 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 32768 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 15

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9} x^{9} + C + 40 (\frac{2}{15} x^{\frac{15}{2}} + C) + 640 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 5120 (\frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + C) + 20480 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 32768 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 16

Simplifiez

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Étape 16.1

Simplifiez

$\frac{x^{9}}{9} + \frac{16 x^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{320 x^{6}}{3} + \frac{10240 x^{\frac{9}{2}}}{9} + \frac{20480 x^{3}}{3} + 32768 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Étape 16.2

Simplifiez

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Étape 16.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{x^{9}}{9} + \frac{16 x^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{320 x^{6}}{3} + \frac{10240 x^{\frac{9}{2}}}{9} + \frac{20480 x^{3}}{3} + 32768 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 16.2.2

Associez $32768$ et $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x^{9}}{9} + \frac{16 x^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{320 x^{6}}{3} + \frac{10240 x^{\frac{9}{2}}}{9} + \frac{20480 x^{3}}{3} + \frac{32768 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Étape 16.2.3

Multipliez $2$ par $32768$ .

$\frac{x^{9}}{9} + \frac{16 x^{\frac{15}{2}}}{3} + \frac{320 x^{6}}{3} + \frac{10240 x^{\frac{9}{2}}}{9} + \frac{20480 x^{3}}{3} + \frac{65536 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Étape 16.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{9} x^{9} + \frac{16}{3} x^{\frac{15}{2}} + \frac{320}{3} x^{6} + \frac{10240}{9} x^{\frac{9}{2}} + \frac{20480}{3} x^{3} + \frac{65536}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$