Calcul infinitésimal Exemples

$\int (2 x^{2} + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{7}} - 4 \sin (x) + 2 e^{x}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int 2 x^{2} + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{7}} - 4 \sin (x) + 2 e^{x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 x^{2} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x^{2} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Étape 5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Étape 6

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{5}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Étape 7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{x^{7}} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Retirez $x^{7}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int {(x^{7})}^{- 1} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int {(x^{7})}^{- 1} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Étape 8.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{7})}^{- 1}$ .

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Étape 8.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int x^{7 \cdot - 1} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Étape 8.2.2.2

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 \int x^{- 7} d x + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 7}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{6} x^{- 6}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6} x^{- 6} + C) + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Associez $x^{- 6}$ et $\frac{1}{6}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{x^{- 6}}{6} + C) + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Étape 10.2

Placez $x^{- 6}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) + \int - 4 \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Étape 11

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) - 4 \int \sin (x) d x + \int 2 e^{x} d x$

Étape 12

L’intégrale de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \cos (x)$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) - 4 (- \cos (x) + C) + \int 2 e^{x} d x$

Étape 13

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) - 4 (- \cos (x) + C) + 2 \int e^{x} d x$

Étape 14

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + 5 (- \frac{1}{6 x^{6}} + C) - 4 (- \cos (x) + C) + 2 (e^{x} + C)$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Simplifiez

$\frac{2 x^{3}}{3} + 3 \ln (| x |) - \frac{5}{6 x^{6}} + 4 \cos (x) + 2 e^{x} + C$

Étape 15.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{3} x^{3} + 3 \ln (| x |) - \frac{5}{6 x^{6}} + 4 \cos (x) + 2 e^{x} + C$