Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{1}^{e} \frac{1}{y (1 + \ln (y))} d y$

Étape 1

Laissez $u_{1} = \ln (y)$ . Alors $d u_{1} = \frac{1}{y} d y$ , donc $y d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 1.1

Laissez $u_{1} = \ln (y)$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $y$ dans $u_{1} = \ln (y)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

Étape 1.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $y$ dans $u_{1} = \ln (y)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

Étape 1.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ , $d u_{1}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + u_{1}} d u_{1}$

Étape 2

Laissez $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Puis $d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.1

Laissez $u_{2} = 1 + u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $1 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + u_{1}]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 2.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $1$ par rapport à $u_{1}$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = 1 + u_{1}$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $u_{1}$ dans $u_{2} = 1 + u_{1}$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Étape 2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$u_{upper} = 2$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ , $d u_{2}$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 3

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |)]_{1}^{2}$

Étape 4

Évaluez $\ln (| u_{2} |)$ sur $2$ et sur $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |)$

Étape 5

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |})$

Étape 6.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\ln (\frac{2}{1})$

Étape 6.3

Divisez $2$ par $1$ .

$\ln (2)$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (2)$

Forme décimale :

$0.69314718 \dots$