Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos (2 x) - \sin (2 x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (2 x) - \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Étape 1.2.1.2

La dérivée de $\cos (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Étape 1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \sin (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Étape 1.2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 2 \sin (2 x) - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 \sin (2 x) - (\cos (2 x) \cdot 2)$

Étape 1.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$- 2 \sin (2 x) - (2 \cdot \cos (2 x))$

Étape 1.3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = - 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 \sin (2 x) - 2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$- 2 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$- 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$- 2 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Étape 2.2.7

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cos (2 x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Étape 2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Étape 2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 4 \cos (2 x) - 2 (- 2 \sin (2 x))$

Étape 2.3.7

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$ .

$- 4 \cos (2 x) + 4 \sin (2 x)$