Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{3}}{x + 2}$

Étape 1

Écrivez $\frac{x^{3}}{x + 2}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{x^{3}}{x + 2}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{x^{3}}{x + 2} d x$

Étape 4

Divisez $x^{3}$ par $x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 4.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Étape 4.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 4.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 4.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Étape 4.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 4.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 4.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Étape 4.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 4.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$

Étape 4.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$0$

Étape 4.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$0$

Étape 4.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$0$
							+	$4 x$	+	$8$

Étape 4.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x + 8$

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$0$
							-	$4 x$	-	$8$

Étape 4.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$4 x$	+	$0$
							-	$4 x$	-	$8$
									-	$8$

Étape 4.16

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int x^{2} - 2 x + 4 - \frac{8}{x + 2} d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 4 d x + \int - \frac{8}{x + 2} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 2 x d x + \int 4 d x + \int - \frac{8}{x + 2} d x$

Étape 7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 \int x d x + \int 4 d x + \int - \frac{8}{x + 2} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 d x + \int - \frac{8}{x + 2} d x$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 x + C + \int - \frac{8}{x + 2} d x$

Étape 10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C + \int - \frac{8}{x + 2} d x$

Étape 11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - \int \frac{8}{x + 2} d x$

Étape 12

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - (8 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Étape 13

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - 8 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Étape 14

Laissez $u = x + 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 14.1

Laissez $u = x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 14.1.1

Différenciez $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 14.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 14.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 14.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 14.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 14.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - 8 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 15

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C - 8 (\ln (| u |) + C)$

Étape 16

Simplifiez

$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 8 \ln (| u |) + C$

Étape 17

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 4 x - 8 \ln (| x + 2 |) + C$

Étape 18

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 4 x - 8 \ln (| x + 2 |) + C$

Étape 19

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{x^{3}}{x + 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 4 x - 8 \ln (| x + 2 |) + C$