Calcul infinitésimal Exemples

$y = (4 x^{3} + 8) (2 x^{7} - 3)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((4 x^{3} + 8) (2 x^{7} - 3))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 4 x^{3} + 8$ et $g (x) = 2 x^{7} - 3$ .

$(4 x^{3} + 8) \frac{d}{d x} [2 x^{7} - 3] + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{7} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(4 x^{3} + 8) (\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Étape 3.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{7}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$(4 x^{3} + 8) (2 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$(4 x^{3} + 8) (2 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Étape 3.2.4

Multipliez $7$ par $2$ .

$(4 x^{3} + 8) (14 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 3]) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Étape 3.2.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(4 x^{3} + 8) (14 x^{6} + 0) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Étape 3.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.6.1

Additionnez $14 x^{6}$ et $0$ .

$(4 x^{3} + 8) (14 x^{6}) + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Étape 3.2.6.2

Déplacez $14$ à gauche de $4 x^{3} + 8$ .

$14 \cdot (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 8]$

Étape 3.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 3.2.8

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 3.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 3.2.10

Multipliez $3$ par $4$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [8])$

Étape 3.2.11

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (12 x^{2} + 0)$

Étape 3.2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.12.1

Additionnez $12 x^{2}$ et $0$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + (2 x^{7} - 3) (12 x^{2})$

Étape 3.2.12.2

Déplacez $12$ à gauche de $2 x^{7} - 3$ .

$14 (4 x^{3} + 8) x^{6} + 12 \cdot (2 x^{7} - 3) x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(14 (4 x^{3}) + 14 \cdot 8) x^{6} + 12 (2 x^{7} - 3) x^{2}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$14 (4 x^{3}) x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7} - 3) x^{2}$

Étape 3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$14 (4 x^{3}) x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + (12 (2 x^{7}) + 12 \cdot - 3) x^{2}$

Étape 3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$14 (4 x^{3}) x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Étape 3.3.5

Associez des termes.

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Étape 3.3.5.1

Multipliez $4$ par $14$ .

$56 x^{3} x^{6} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $x^{3}$ par $x^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.5.2.1

Déplacez $x^{6}$ .

$56 (x^{6} x^{3}) + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Étape 3.3.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$56 x^{6 + 3} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Étape 3.3.5.2.3

Additionnez $6$ et $3$ .

$56 x^{9} + 14 \cdot 8 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Étape 3.3.5.3

Multipliez $14$ par $8$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 12 (2 x^{7}) x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Étape 3.3.5.4

Multipliez $2$ par $12$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{7} x^{2} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Étape 3.3.5.5

Multipliez $x^{7}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.5.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 (x^{2} x^{7}) + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Étape 3.3.5.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{2 + 7} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Étape 3.3.5.5.3

Additionnez $2$ et $7$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{9} + 12 \cdot - 3 x^{2}$

Étape 3.3.5.6

Multipliez $12$ par $- 3$ .

$56 x^{9} + 112 x^{6} + 24 x^{9} - 36 x^{2}$

Étape 3.3.5.7

Additionnez $56 x^{9}$ et $24 x^{9}$ .

$80 x^{9} + 112 x^{6} - 36 x^{2}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 80 x^{9} + 112 x^{6} - 36 x^{2}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 80 x^{9} + 112 x^{6} - 36 x^{2}$