Calcul infinitésimal Exemples

$y'' + 3 y' + 2 y = 6$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 6$

Étape 2

Supposez que toutes les solutions sont de la forme $y = e^{r x}$ .

Étape 3

Déterminez l’équation caractéristique pour $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} + 2 y = 6$ .

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Étape 3.1

Déterminez la dérivée première.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Étape 3.2

Déterminez la dérivée seconde.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Étape 3.3

Remplacez dans l’équation différentielle.

$r^{2} e^{r x} + 3 (r e^{r x}) + 2 e^{r x} = 6$

Étape 3.4

Supprimez les parenthèses.

$r^{2} e^{r x} + 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 6$

Étape 3.5

Factorisez $e^{r x}$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 3 r e^{r x} + 2 e^{r x} = 6$

Étape 3.5.2

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $3 r e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} (3 r) + 2 e^{r x} = 6$

Étape 3.5.3

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} (3 r)$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r) + 2 e^{r x} = 6$

Étape 3.5.4

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $2 e^{r x}$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r) + e^{r x} \cdot 2 = 6$

Étape 3.5.5

Factorisez $e^{r x}$ à partir de $e^{r x} (r^{2} + 3 r) + e^{r x} \cdot 2$ .

$e^{r x} (r^{2} + 3 r + 2) = 6$

Étape 3.6

Comme les exponentielles ne peuvent jamais être nulles, divisez les deux côtés par $e^{r x}$ .

$r^{2} + 3 r + 2 = 6$

Étape 4

Résolvez $r$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$r^{2} + 3 r + 2 - 6 = 0$

Étape 4.2

Soustrayez $6$ de $2$ .

$r^{2} + 3 r - 4 = 0$

Étape 4.3

Factorisez $r^{2} + 3 r - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 4.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $3$ .

$- 1, 4$

Étape 4.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(r - 1) (r + 4) = 0$

Étape 4.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$r - 1 = 0$

$r + 4 = 0$

Étape 4.5

Définissez $r - 1$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 4.5.1

Définissez $r - 1$ égal à $0$ .

$r - 1 = 0$

Étape 4.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$r = 1$

Étape 4.6

Définissez $r + 4$ égal à $0$ et résolvez $r$ .

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Étape 4.6.1

Définissez $r + 4$ égal à $0$ .

$r + 4 = 0$

Étape 4.6.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$r = - 4$

Étape 4.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(r - 1) (r + 4) = 0$ vraie.

$r = 1, - 4$

Étape 5

Les deux valeurs déterminées de $r$ permettent de construire deux solutions.

$y_{1} = e^{1 x}$

$y_{2} = e^{- 4 x}$

Étape 6

D’après le principe de superposition, la solution générale est une combinaison linéaire des deux solutions pour une équation différentielle linéaire homogène du second ordre.

$y = c_{1} e^{1 x} + c_{2} e^{- 4 x}$

Étape 7

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- 4 x}$