Calcul infinitésimal Exemples

$\int (2 x + 1) {(x - 6)}^{2} d x$

Étape 1

Laissez $u = x - 6$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = x - 6$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.1.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int (2 (u + 6) + 1) u^{2} d u$

Étape 2

Développez $(2 (u + 6) + 1) u^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (2 u + 2 \cdot 6 + 1) u^{2} d u$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (2 u + 2 \cdot 6) u^{2} + 1 u^{2} d u$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int 2 u \cdot u^{2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Étape 2.4

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$\int 2 (u^{1} u^{2}) + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Étape 2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 u^{1 + 2} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Étape 2.6

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int 2 u^{3} + 2 \cdot 6 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $6$ .

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + 1 u^{2} d u$

Étape 2.8

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$\int 2 u^{3} + 12 u^{2} + u^{2} d u$

Étape 2.9

Additionnez $12 u^{2}$ et $u^{2}$ .

$\int 2 u^{3} + 13 u^{2} d u$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int u^{3} d u + \int 13 u^{2} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 13 u^{2} d u$

Étape 6

Comme $13$ est constant par rapport à $u$ , placez $13$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 \int u^{2} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 13 (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Simplifiez

$2 (\frac{1}{4}) u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Étape 8.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Étape 8.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Étape 8.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Étape 8.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} u^{4} + 13 (\frac{1}{3}) u^{3} + C$

Étape 8.2.3

Associez $13$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} u^{4} + \frac{13}{3} u^{3} + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 6$ .

$\frac{1}{2} {(x - 6)}^{4} + \frac{13}{3} {(x - 6)}^{3} + C$