Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

Étape 3

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $- 7 x + 5 x^{5}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 7 x$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + 5 x^{5}}{x^{2}} d x$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $5 x^{5}$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x \cdot - 7 + x (5 x^{4})}{x^{2}} d x$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot - 7 + x (5 x^{4})$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x^{2}} d x$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{x (- 7 + 5 x^{4})}{x \cdot x} d x$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int - 9 e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Étape 5

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 9$ en dehors de l’intégrale.

$- 9 \int e^{- 9 x} d x + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Étape 6

Laissez $u = - 9 x$ . Alors $d u = - 9 d x$ , donc $- \frac{1}{9} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = - 9 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

Étape 6.1.2

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9 x$ par rapport à $x$ est $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$- 9$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- 9 \int e^{u} \frac{1}{- 9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Étape 7

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Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 9 \int e^{u} (- \frac{1}{9}) d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Étape 7.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{9}$ .

$- 9 \int - \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- 9 (- \int \frac{e^{u}}{9} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Étape 9

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$9 \int \frac{e^{u}}{9} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Étape 10

Comme $\frac{1}{9}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{9}$ en dehors de l’intégrale.

$9 (\frac{1}{9} \int e^{u} d u) + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Étape 11

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{9}$ et $9$ .

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{9} \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Étape 11.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Étape 11.3

Multipliez $\int e^{u} d u$ par $1$ .

$\int e^{u} d u + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Étape 12

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{u} + C + \int \frac{- 7 + 5 x^{4}}{x} d x$

Étape 13

Remettez dans l’ordre $- 7$ et $5 x^{4}$ .

$e^{u} + C + \int \frac{5 x^{4} - 7}{x} d x$

Étape 14

Divisez $5 x^{4} - 7$ par $x$ .

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Étape 14.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Étape 14.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $5 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

Étape 14.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Étape 14.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $5 x^{4} + 0$

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Étape 14.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

Étape 14.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$5 x^{3}$

$x$

$0$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$7$

$5 x^{4}$

$0$

$0 x^{2}$

$0 x$

Étape 14.7

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} - \frac{7}{x} d x$

Étape 15

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{u} + C + \int 5 x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

Étape 16

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$e^{u} + C + 5 \int x^{3} d x + \int - \frac{7}{x} d x$

Étape 17

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

Étape 18

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \int - \frac{7}{x} d x$

Étape 19

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \int \frac{7}{x} d x$

Étape 20

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (7 \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 21

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 22

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{u} + C + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 7 (\ln (| x |) + C)$

Étape 23

Simplifiez

$e^{u} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Étape 24

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 9 x$ .

$e^{- 9 x} + \frac{5 x^{4}}{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Étape 25

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$

Étape 26

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = - 9 e^{- 9 x} + \frac{- 7 x + 5 x^{5}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $e^{- 9 x} + \frac{5}{4} x^{4} - 7 \ln (| x |) + C$