Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - x^{3} - 5 x^{2} + 2$ at $x = - 1$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = - 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $- 1$ .

$y = - {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Étape 1.2

Simplifiez $- {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$ .

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ .

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Étape 1.2.1.1.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$y = {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Étape 1.2.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = {(- 1)}^{1 + 3} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Étape 1.2.1.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$y = {(- 1)}^{4} - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Étape 1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$y = 1 - 5 {(- 1)}^{2} + 2$

Étape 1.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = 1 - 5 \cdot 1 + 2$

Étape 1.2.1.4

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$y = 1 - 5 + 2$

Étape 1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.2.2.1

Soustrayez $5$ de $1$ .

$y = - 4 + 2$

Étape 1.2.2.2

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$y = - 2$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 1$ et $y = - 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{3} - 5 x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 5$ .

$- 3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 x^{2} - 10 x + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $- 3 x^{2} - 10 x$ et $0$ .

$- 3 x^{2} - 10 x$

Étape 2.5

Évaluez la dérivée sur $x = - 1$ .

$- 3 {(- 1)}^{2} - 10 \cdot - 1$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 3 \cdot 1 - 10 \cdot - 1$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- 3 - 10 \cdot - 1$

Étape 2.6.1.3

Multipliez $- 10$ par $- 1$ .

$- 3 + 10$

Étape 2.6.2

Additionnez $- 3$ et $10$ .

$7$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $7$ et un point donné, tel que $(- 1, - 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = 7 \cdot (x - (- 1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 2 = 7 \cdot (x + 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $7 \cdot (x + 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y + 2 = 0 + 0 + 7 \cdot (x + 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 2 = 7 \cdot (x + 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 2 = 7 x + 7 \cdot 1$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $7$ par $1$ .

$y + 2 = 7 x + 7$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$y = 7 x + 7 - 2$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $2$ de $7$ .

$y = 7 x + 5$

Étape 4