Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 1

Écrivez $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{x}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Étape 5

Écrivez la fraction en utilisant la décomposition en fractions partielles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Décomposez la fraction et multipliez par le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Pour chaque facteur dans le dénominateur, créez une nouvelle fraction en utilisant le facteur comme dénominateur et une valeur inconnue comme numérateur. Comme le facteur dans le dénominateur est linéaire, placez une variable unique à sa place $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 5.1.2

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Étape 5.1.3

Multipliez chaque fraction dans l’équation par le dénominateur de l’expression d’origine. Dans ce cas, le dénominateur est ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{x {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 5.1.4

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 5.1.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 5.1.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.5.1

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 5.1.5.1.2

Divisez $A$ par $1$ .

$x = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Étape 5.1.5.2

Annulez le facteur commun à ${(x + 1)}^{2}$ et $x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.5.2.1

Factorisez $x + 1$ à partir de $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$x = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Étape 5.1.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.5.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$x = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Étape 5.1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Étape 5.1.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Étape 5.1.5.2.2.4

Divisez $B (x + 1)$ par $1$ .

$x = A + B (x + 1)$

Étape 5.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$x = A + B x + B \cdot 1$

Étape 5.1.5.4

Multipliez $B$ par $1$ .

$x = A + B x + B$

Étape 5.1.6

Remettez dans l’ordre $A$ et $B x$ .

$x = B x + A + B$

Étape 5.2

Créez des équations pour les variables de fractions partielles et utilisez-les pour définir un système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients de $x$ de chaque côté de l’équation. Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$1 = B$

Étape 5.2.2

Créez une équation pour les variables de fractions partielles en faisant correspondre les coefficients des termes qui ne contiennent pas $x$ . Pour que l’équation soit égale, les coefficients équivalents de chaque côté de l’équation doivent être égaux.

$0 = A + B$

Étape 5.2.3

Définissez le système d’équations pour déterminer les coefficients des fractions partielles.

$1 = B$

$0 = A + B$

$1 = B$

$0 = A + B$

Étape 5.3

Résolvez le système d’équations.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Réécrivez l’équation comme $B = 1$ .

$B = 1$

$0 = A + B$

Étape 5.3.2

Remplacez toutes les occurrences de $B$ par $1$ dans chaque équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Remplacez toutes les occurrences de $B$ dans $0 = A + B$ par $1$ .

$0 = A + 1$

$B = 1$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$0 = A + 1$

$B = 1$

$0 = A + 1$

$B = 1$

$0 = A + 1$

$B = 1$

Étape 5.3.3

Résolvez $A$ dans $0 = A + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Réécrivez l’équation comme $A + 1 = 0$ .

$A + 1 = 0$

$B = 1$

Étape 5.3.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

Étape 5.3.4

Résolvez le système d’équations.

$A = - 1 B = 1$

Étape 5.3.5

Indiquez toutes les solutions.

$A = - 1, B = 1$

Étape 5.4

Remplacez chacun des coefficients de fractions partielles dans $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ par les valeurs trouvées pour $A$ et $B$ .

$\frac{- 1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{x + 1}$

Étape 5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$2 (\int - \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 8

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Puis $d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Laissez $u_{1} = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 8.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 8.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 8.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$2 (- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 9

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Retirez ${u_{1}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 (- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 9.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 9.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{1}}^{- 2}$ par rapport à $u_{1}$ est $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$2 (- (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 11

Laissez $u_{2} = x + 1$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Laissez $u_{2} = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 11.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 11.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 11.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 11.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 11.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$2 (- (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 12

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 (- (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \ln (| u_{2} |) + C)$

Étape 13

Simplifiez

$2 (\frac{1}{u_{1}} + \ln (| u_{2} |)) + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x + 1$ .

$2 (\frac{1}{x + 1} + \ln (| u_{2} |)) + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 1$ .

$2 (\frac{1}{x + 1} + \ln (| x + 1 |)) + C$

Étape 15

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 (\frac{1}{x + 1} + \ln (| x + 1 |)) + C$