Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{{(- 3 + h)}^{- 1} + 3^{- 1}}{h}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 1.1.1

Convertissez les exposants négatifs en fractions.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} + 3^{- 1}}{h}$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} + \frac{1}{3}}{h}$

Étape 1.1.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.2.1

Pour écrire $\frac{1}{- 3 + h}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{h}$

Étape 1.1.2.2

Pour écrire $\frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 3 + h}{- 3 + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{- 3 + h} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 + h}{- 3 + h}}{h}$

Étape 1.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(- 3 + h) \cdot 3$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{- 3 + h}$ par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3}{(- 3 + h) \cdot 3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 + h}{- 3 + h}}{h}$

Étape 1.1.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{- 3 + h}{- 3 + h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3}{(- 3 + h) \cdot 3} + \frac{- 3 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

Étape 1.1.2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(- 3 + h) \cdot 3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3}{3 (- 3 + h)} + \frac{- 3 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

Étape 1.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{3 - 3 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

Étape 1.1.2.5

Soustrayez $3$ de $3$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

Étape 1.1.2.6

Additionnez $0$ et $h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{h}{3 (- 3 + h)}}{h}$

Étape 1.2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 1.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{h}{3 (- 3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{h}{3 (- 3 + h)}$ par $\frac{1}{h}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{h}{3 (- 3 + h) h}$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{h \to 0} \frac{h}{3 (- 3 + h) h}$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{h \to 0} \frac{1}{3 (- 3 + h)}$

Étape 1.3

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $h$ .

$\frac{1}{3} lim_{h \to 0} \frac{1}{- 3 + h}$

Étape 1.4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} - 3 + h}$

Étape 1.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} - 3 + h}$

Étape 1.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- lim_{h \to 0} 3 + lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.7

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot 3 + lim_{h \to 0} h}$

Étape 2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 1 \cdot 3 + 0}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3 + 0}$

Étape 3.1.2

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3}$

Étape 3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 3}$

Étape 3.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{1}{9}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{9}$

Forme décimale :

$- 0.\overline{1}$