Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{4 t}{t - t^{2}} d t$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Factorisez $t$ à partir de $t - t^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{4 t}{t^{1} - t^{2}} d t$

Étape 1.1.2

Factorisez $t$ à partir de $t^{1}$ .

$\int \frac{4 t}{t \cdot 1 - t^{2}} d t$

Étape 1.1.3

Factorisez $t$ à partir de $- t^{2}$ .

$\int \frac{4 t}{t \cdot 1 + t (- t)} d t$

Étape 1.1.4

Factorisez $t$ à partir de $t \cdot 1 + t (- t)$ .

$\int \frac{4 t}{t (1 - t)} d t$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{4 t}{t (1 - t)} d t$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{4}{1 - t} d t$

Étape 2

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \frac{1}{1 - t} d t$

Étape 3

Laissez $u = 1 - t$ . Alors $d u = - d t$ , donc $- d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = 1 - t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 3.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 3.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$4 \int \frac{- 1}{u} d u$

Étape 4

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 \int - \frac{1}{u} d u$

Étape 5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 6

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- 4 (\ln (| u |) + C)$

Étape 8

Simplifiez

$- 4 \ln (| u |) + C$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - t$ .

$- 4 \ln (| 1 - t |) + C$