Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1

Écrivez $2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ comme une fonction.

$f (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 x^{2} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int x^{2} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 8

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 8.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 8.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 8.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - \int x^{- 2} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3} + C) - (- x^{- 1} + C)$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{2 x^{3}}{3} - - x^{- 1} + C$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} + 1 x^{- 1} + C$

Étape 10.2.2

Multipliez $x^{- 1}$ par $1$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} + x^{- 1} + C$

Étape 10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2}{3} x^{3} + x^{- 1} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 2 x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{3} + x^{- 1} + C$