Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$

Étape 1

Écrivez $y = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$ comme une fonction.

$f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x^{2} - 3 x + \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{2} d x + \int - 3 x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 3 x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 3 \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \ln (| x |) + C$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - 3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \ln (| x |) + C$

Étape 9.2

Simplifiez

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + \ln (| x |) + C$

Étape 10

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x^{2} - 3 x + \frac{1}{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$