Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{6} [4 y - (y^{2} - 12)] d y$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{- 2}^{6} 4 y - (y^{2} - 12) d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 2}^{6} 4 y d y + \int_{- 2}^{6} - (y^{2} - 12) d y$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int_{- 2}^{6} y d y + \int_{- 2}^{6} - (y^{2} - 12) d y$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - (y^{2} - 12) d y$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - (y^{2} - 12) d y$

Étape 6

Multipliez $- (y^{2} - 12)$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - y^{2} - - 12 d y$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $- 12$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - y^{2} + 12 d y$

Étape 8

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} - y^{2} d y + \int_{- 2}^{6} 12 d y$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) - \int_{- 2}^{6} y^{2} d y + \int_{- 2}^{6} 12 d y$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) - (\frac{1}{3} y^{3}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} 12 d y$

Étape 11

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} 12 d y$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$4 (\frac{y^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{6}) + 12 y]_{- 2}^{6}$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Évaluez $\frac{y^{2}}{2}$ sur $6$ et sur $- 2$ .

$4 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{y^{3}}{3}]_{- 2}^{6}) + 12 y]_{- 2}^{6}$

Étape 13.2

Évaluez $\frac{y^{3}}{3}$ sur $6$ et sur $- 2$ .

$4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + 12 y]_{- 2}^{6}$

Étape 13.3

Évaluez $12 y$ sur $6$ et sur $- 2$ .

$4 (\frac{6^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$4 (\frac{36}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.2

Annulez le facteur commun à $36$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$4 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (\frac{18}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.2.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$4 (18 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$4 (18 - \frac{4}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$4 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$4 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 (18 - \frac{2}{1}) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$4 (18 - 1 \cdot 2) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$4 (18 - 2) - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.6

Soustrayez $2$ de $18$ .

$4 \cdot 16 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.7

Multipliez $4$ par $16$ .

$64 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.8

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$64 - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.9

Annulez le facteur commun à $216$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.9.1

Factorisez $3$ à partir de $216$ .

$64 - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$64 - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$64 - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$64 - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.9.2.4

Divisez $72$ par $1$ .

$64 - (72 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.10

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$64 - (72 - \frac{- 8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$64 - (72 - - \frac{8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.12

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$64 - (72 + 1 (\frac{8}{3})) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.13

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $1$ .

$64 - (72 + \frac{8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.14

Pour écrire $72$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$64 - (72 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.15

Associez $72$ et $\frac{3}{3}$ .

$64 - (\frac{72 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3}) + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$64 - \frac{72 \cdot 3 + 8}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.17

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.17.1

Multipliez $72$ par $3$ .

$64 - \frac{216 + 8}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.17.2

Additionnez $216$ et $8$ .

$64 - \frac{224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.18

Pour écrire $64$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$64 \cdot \frac{3}{3} - \frac{224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.19

Associez $64$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64 \cdot 3}{3} - \frac{224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{64 \cdot 3 - 224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.21

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.21.1

Multipliez $64$ par $3$ .

$\frac{192 - 224}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.21.2

Soustrayez $224$ de $192$ .

$\frac{- 32}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{32}{3} + (12 \cdot 6) - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.23

Multipliez $12$ par $6$ .

$- \frac{32}{3} + 72 - 12 \cdot - 2$

Étape 13.4.24

Multipliez $- 12$ par $- 2$ .

$- \frac{32}{3} + 72 + 24$

Étape 13.4.25

Additionnez $72$ et $24$ .

$- \frac{32}{3} + 96$

Étape 13.4.26

Pour écrire $96$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32}{3} + 96 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 13.4.27

Associez $96$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32}{3} + \frac{96 \cdot 3}{3}$

Étape 13.4.28

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 32 + 96 \cdot 3}{3}$

Étape 13.4.29

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.29.1

Multipliez $96$ par $3$ .

$\frac{- 32 + 288}{3}$

Étape 13.4.29.2

Additionnez $- 32$ et $288$ .

$\frac{256}{3}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{256}{3}$

Forme décimale :

$85.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$85 \frac{1}{3}$

Étape 15