Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{3} (\frac{3}{4} y - \frac{1}{4} y^{2}) d y$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{3} \frac{3}{4} y - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{3} \frac{3}{4} y d y + \int_{0}^{3} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Étape 3

Comme $\frac{3}{4}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{3}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{4} \int_{0}^{3} y d y + \int_{0}^{3} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{3}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} - \frac{1}{4} y^{2} d y$

Étape 5

Comme $- \frac{1}{4}$ est constant par rapport à $y$ , placez $- \frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{3} - \frac{1}{4} \int_{0}^{3} y^{2} d y$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{3}{4} \frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{3} - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{3}$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{1}{2} y^{2}$ sur $3$ et sur $0$ .

$\frac{3}{4} ((\frac{1}{2} \cdot 3^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{4} \frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{3}$

Étape 7.2

Évaluez $\frac{1}{3} y^{3}$ sur $3$ et sur $0$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} \cdot 3^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{3}{4} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 7.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $9$ .

$\frac{3}{4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 7.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3}{4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 7.3.4

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{3}{4} (\frac{9}{2} + 0 (\frac{1}{2})) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 7.3.5

Multipliez $0$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{9}{2} + 0) - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 7.3.6

Additionnez $\frac{9}{2}$ et $0$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{9}{2} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 7.3.7

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{9}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 2} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 7.3.8

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{27}{4 \cdot 2} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 7.3.9

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 7.3.10

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 7.3.11

Associez $\frac{1}{3}$ et $27$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 7.3.12

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 7.3.12.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 7.3.12.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.12.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 7.3.12.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 7.3.12.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 7.3.12.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (9 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 7.3.13

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (9 - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Étape 7.3.14

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (9 + 0 (\frac{1}{3}))$

Étape 7.3.15

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} (9 + 0)$

Étape 7.3.16

Additionnez $9$ et $0$ .

$\frac{27}{8} - \frac{1}{4} \cdot 9$

Étape 7.3.17

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\frac{27}{8} - 9 (\frac{1}{4})$

Étape 7.3.18

Associez $- 9$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{27}{8} + \frac{- 9}{4}$

Étape 7.3.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{27}{8} - \frac{9}{4}$

Étape 7.3.20

Pour écrire $- \frac{9}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{8} - \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.3.21

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.3.21.1

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{8} - \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Étape 7.3.21.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{27}{8} - \frac{9 \cdot 2}{8}$

Étape 7.3.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{27 - 9 \cdot 2}{8}$

Étape 7.3.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.23.1

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$\frac{27 - 18}{8}$

Étape 7.3.23.2

Soustrayez $18$ de $27$ .

$\frac{9}{8}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{9}{8}$

Forme décimale :

$1.125$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{1}{8}$

Étape 9