Calcul infinitésimal Exemples

$4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Étape 1

Écrivez $4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ comme une fonction.

$f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 4 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

Étape 4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \sec (3 x) \tan (3 x) d x$

Étape 5

Laissez $u_{2} = \sec (3 x)$ . Alors $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u_{2} = \sec (3 x)$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Étape 5.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 5.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 5.1.2.2

La dérivée de $\sec (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 5.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 5.1.3

Différenciez.

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Étape 5.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Étape 5.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.3.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Étape 5.1.3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$4 \int \frac{1}{3} d u_{2}$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Réécrivez $4 (\frac{1}{3} u_{2} + C)$ comme $4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$ .

$4 (\frac{1}{3}) u_{2} + C$

Étape 7.2

Associez $4$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} u_{2} + C$

Étape 7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sec (3 x)$ .

$\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$

Étape 8

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 4 \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{4}{3} \sec (3 x) + C$