Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 0}^{6} (\frac{3}{2}) \cdot k^{2}$

Étape 1

Simplifiez l’addition.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $k^{2}$ .

$\frac{3 k^{2}}{2}$

Étape 1.2

Réécrivez l’addition.

$\sum_{k = 0}^{6} \frac{3 k^{2}}{2}$

Étape 2

Divisez l’addition pour rendre la valeur de départ de $k$ égale à $1$ .

$\sum_{k = 0}^{6} \frac{3 k^{2}}{2} = \sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k^{2}}{2} + \sum_{k = 0}^{0} \frac{3 k^{2}}{2}$

Étape 3

Évaluez $\sum_{k = 1}^{6} \frac{3 k^{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Factorisez $\frac{3}{2}$ dans l’addition.

$(\frac{3}{2}) \sum_{k = 1}^{6} k^{2}$

Étape 3.2

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(\frac{3}{2}) (\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6})$

Étape 3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Additionnez $6$ et $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{6 \cdot 7 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Étape 3.4.1.2

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.2.1

Multipliez $6$ par $7$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{42 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Étape 3.4.1.2.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{42 (12 + 1)}{6}$

Étape 3.4.1.3

Additionnez $12$ et $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{42 \cdot 13}{6}$

Étape 3.4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Multipliez $42$ par $13$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{546}{6}$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{546}{3 (2)}$

Étape 3.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{546}{3 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{546}{2}$

Étape 3.4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $546$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (273)}{2}$

Étape 3.4.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 273}{2}$

Étape 3.4.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{273}{2}$

Étape 4

Évaluez $\sum_{k = 0}^{0} \frac{3 k^{2}}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Développez la série pour chaque valeur de $k$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2}}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{2}$

Étape 4.2.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0}{2}$

Étape 4.2.3

Divisez $0$ par $2$ .

$0$

Étape 5

Remplacez les additions par les valeurs déterminées.

$\frac{273}{2} + 0$

Étape 6

Additionnez $\frac{273}{2}$ et $0$ .

$\frac{273}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{273}{2}$

Forme décimale :

$136.5$

Forme de nombre mixte :

$136 \frac{1}{2}$