Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{1} (x + \sqrt{x}) d x$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{1} x + \sqrt{x} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \sqrt{x} d x$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Associez $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}$ et $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$

Étape 6.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}) - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} \cdot 1 - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.4

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.5

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.6

Pour écrire $\frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.2.2.7.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3}{6} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.7.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.7.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 + 2 \cdot 2}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.9.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 + 4}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.9.2

Additionnez $3$ et $4$ .

$\frac{7}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0^{2} + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{7}{6} - (\frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.11

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.12

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2.13

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 6.2.2.14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.14.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Étape 6.2.2.14.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Étape 6.2.2.15

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{7}{6} - (0 + \frac{2}{3} \cdot 0)$

Étape 6.2.2.16

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $0$ .

$\frac{7}{6} - (0 + 0)$

Étape 6.2.2.17

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{7}{6} - 0$

Étape 6.2.2.18

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{7}{6} + 0$

Étape 6.2.2.19

Additionnez $\frac{7}{6}$ et $0$ .

$\frac{7}{6}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{7}{6}$

Forme décimale :

$1.1\overline{6}$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{1}{6}$

Étape 8