Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8}{x^{2} - 4} - \frac{x}{x - 2}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{8}{x^{2} - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x}{x - 2}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{x}{x - 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8}{x^{2} - 4} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x^{2} - 4) (x - 2)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{8}{x^{2} - 4}$ par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2)}{(x^{2} - 4) (x - 2)} - \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{x}{x - 2}$ par $\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2)}{(x^{2} - 4) (x - 2)} - \frac{x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x^{2} - 4) (x - 2)$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} - \frac{x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} 8 (x - 2) - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.2

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 2^{+}} x - 2 - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2) - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.5

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot (lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.7

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.8

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{8 (lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.9

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{8 (2 - 1 \cdot 2) - lim_{x \to 2^{+}} x \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{8 (2 - 1 \cdot 2) - 2 \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{8 (2 - 1 \cdot 2) - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.10.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{8 (2 - 2) - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.10.1.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{8 \cdot 0 - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.10.1.3

Multipliez $8$ par $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.10.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.10.1.4.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0 - 2 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.10.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{0 - 2 \cdot (4 - 4)}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.10.1.5

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.10.1.6

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.2.10.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} (x - 2) (x^{2} - 4)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} x - 2 \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}$

Étape 2.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2) \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}$

Étape 2.1.3.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - 4}$

Étape 2.1.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}$

Étape 2.1.3.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4)}$

Étape 2.1.3.6

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

Étape 2.1.3.7

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot ({(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}$

Étape 2.1.3.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{(2 - 1 \cdot 2) \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Étape 2.1.3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0}{(2 - 2) \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Étape 2.1.3.8.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (2^{2} - 1 \cdot 4)}$

Étape 2.1.3.8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.8.3.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 1 \cdot 4)}$

Étape 2.1.3.8.3.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot (4 - 4)}$

Étape 2.1.3.8.4

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Étape 2.1.3.8.5

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.8.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 (x - 2) - x (x^{2} - 4)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 (x - 2)] + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [8 (x - 2)] + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 (x - 2)]$ .

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Étape 2.3.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 (x - 2)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x - 2]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 \frac{d}{d x} [x - 2] + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.3.6

Multipliez $8$ par $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 + \frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x (x^{2} - 4)]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x (x^{2} - 4)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4)]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - \frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4)]}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.7

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (x (2 x) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 (x^{1} x) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.9

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 (x^{1} x^{1}) + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 x^{2} + (x^{2} - 4) \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.12

Multipliez $x^{2} - 4$ par $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (2 x^{2} + x^{2} - 4)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.4.13

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (3 x^{2} - 4)}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - (3 x^{2}) - - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.5.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - 3 x^{2} - - 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{8 - 3 x^{2} + 4}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.5.2.3

Additionnez $8$ et $4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 4)]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - 2$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4] + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 2.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 2.3.9

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 2.3.10

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(x - 2) (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 2.3.11

Déplacez $2$ à gauche de $x - 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 \cdot (x - 2) x + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x - 2]}$

Étape 2.3.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Étape 2.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}$

Étape 2.3.14

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) (1 + 0)}$

Étape 2.3.15

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Étape 2.3.16

Multipliez $x^{2} - 4$ par $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x - 2) x + x^{2} - 4}$

Étape 2.3.17

Simplifiez

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Étape 2.3.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{(2 x + 2 \cdot - 2) x + x^{2} - 4}$

Étape 2.3.17.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Étape 2.3.17.3

Associez des termes.

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Étape 2.3.17.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Étape 2.3.17.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Étape 2.3.17.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Étape 2.3.17.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x + x^{2} - 4}$

Étape 2.3.17.3.5

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{2 x^{2} - 4 x + x^{2} - 4}$

Étape 2.3.17.3.6

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{3 x^{2} - 4 x - 4}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 2^{+}} - 3 x^{2} + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{- lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} + lim_{x \to 2^{+}} 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Étape 3.1.2.1.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- 3 lim_{x \to 2^{+}} x^{2} + lim_{x \to 2^{+}} 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Étape 3.1.2.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{- 3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} + lim_{x \to 2^{+}} 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Étape 3.1.2.1.4

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{- 3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{- 3 \cdot 2^{2} + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 3 \cdot 4 + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Étape 3.1.2.3.1.2

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{- 12 + 12}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Étape 3.1.2.3.2

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - 4 x - 4}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

Étape 3.1.3.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 2^{+}} x^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

Étape 3.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - lim_{x \to 2^{+}} 4 x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

Étape 3.1.3.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 4}$

Étape 3.1.3.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 2^{+}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 4}$

Étape 3.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 4 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 4}$

Étape 3.1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Étape 3.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.7.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{3 \cdot 4 - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Étape 3.1.3.7.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{0}{12 - 4 \cdot 2 - 1 \cdot 4}$

Étape 3.1.3.7.1.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{0}{12 - 8 - 1 \cdot 4}$

Étape 3.1.3.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{0}{12 - 8 - 4}$

Étape 3.1.3.7.2

Soustrayez $8$ de $12$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Étape 3.1.3.7.3

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.7.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x^{2} + 12}{3 x^{2} - 4 x - 4} = lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{2} + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Étape 3.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Étape 3.3.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x + \frac{d}{d x} [12]}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Étape 3.3.4

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Étape 3.3.5

Additionnez $- 6 x$ et $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x - 4]}$

Étape 3.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 4 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 3.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.7.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 3.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 3.3.7.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 3.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 3.3.8.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 3.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 3.3.8.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 3.3.9

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4 + 0}$

Étape 3.3.10

Additionnez $6 x - 4$ et $0$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 6 x}{6 x - 4}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $6 x - 4$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{6 x - 4}$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x) - 4}$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x) + 2 (- 2)}$

Étape 3.4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (- 2)$ .

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x - 2)}$

Étape 3.4.2.4

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{2 (- 3 x)}{2 (3 x - 2)}$

Étape 3.4.2.5

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 2^{+}} \frac{- 3 x}{3 x - 2}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $- 3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 3 lim_{x \to 2^{+}} \frac{x}{3 x - 2}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x - 2}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{lim_{x \to 2^{+}} 3 x - lim_{x \to 2^{+}} 2}$

Étape 4.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{3 lim_{x \to 2^{+}} x - lim_{x \to 2^{+}} 2}$

Étape 4.5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$- 3 \frac{lim_{x \to 2^{+}} x}{3 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$- 3 \frac{2}{3 lim_{x \to 2^{+}} x - 1 \cdot 2}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$- 3 \frac{2}{3 \cdot 2 - 1 \cdot 2}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $3 \cdot 2 - 1 \cdot 2$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $3 \cdot 2$ .

$- 3 \frac{2}{- (- 3 \cdot 2) - 1 \cdot 2}$

Étape 6.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 2$ .

$- 3 \frac{2}{- (- 3 \cdot 2) - 1 (2)}$

Étape 6.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 3 \cdot 2) - 1 (2)$ .

$- 3 \frac{2}{- (- 3 \cdot 2 + 2)}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- (- 3 \cdot 2 + 2)$ comme $- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)$ .

$- 3 \frac{2}{- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)}$

Étape 6.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 3 \frac{2 \cdot 1}{- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)}$

Étape 6.1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 1 (- 3 \cdot 2 + 2)$ .

$- 3 \frac{2 \cdot 1}{2 (- 1 (- 3 + 1))}$

Étape 6.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$- 3 \frac{2 \cdot 1}{2 (- 1 (- 3 + 1))}$

Étape 6.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$- 3 \frac{1}{- 1 (- 3 + 1)}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 6.2.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- 3 \frac{- 1 (- 1)}{- 1 (- 3 + 1)}$

Étape 6.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 3 (- \frac{1}{- 3 + 1})$

Étape 6.3

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{- 2})$

Étape 6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 3 (- - \frac{1}{2})$

Étape 6.5

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 3 (1 (\frac{1}{2}))$

Étape 6.5.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$- 3 (\frac{1}{2})$

Étape 6.6

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 3}{2}$

Étape 6.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2}$