Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{4}{\sqrt[3]{- 2 x - 4}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{- 2 x - 4}$ comme ${(- 2 x - 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{4}{{(- 2 x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{4}{{(- 2 x - 4)}^{\frac{1}{3}}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4}{{(- 2 x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 2 x - 4)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 2 x - 4)}^{\frac{1}{3}}}]$

Étape 4.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{{(- 2 x - 4)}^{\frac{1}{3}}}$ comme ${({(- 2 x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(- 2 x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Étape 4.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${({(- 2 x - 4)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- 2 x - 4)}^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

Étape 4.1.2.2.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- 2 x - 4)}^{\frac{- 1}{3}}]$

Étape 4.1.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 \frac{d}{d x} [{(- 2 x - 4)}^{- \frac{1}{3}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{3}}$ et $g (x) = - 2 x - 4$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x - 4$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- 2 x - 4])$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{3}$ .

$4 (- \frac{1}{3} u^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 2 x - 4])$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x - 4$ .

$4 (- \frac{1}{3} {(- 2 x - 4)}^{- \frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 2 x - 4])$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{1}{3} {(- 2 x - 4)}^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [- 2 x - 4])$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$4 (- \frac{1}{3} {(- 2 x - 4)}^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 2 x - 4])$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 (- \frac{1}{3} {(- 2 x - 4)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 2 x - 4])$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$4 (- \frac{1}{3} {(- 2 x - 4)}^{\frac{- 1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 2 x - 4])$

Étape 4.6.2

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{3} {(- 2 x - 4)}^{\frac{- 4}{3}} \frac{d}{d x} [- 2 x - 4])$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$4 (- \frac{1}{3} {(- 2 x - 4)}^{- \frac{4}{3}} \frac{d}{d x} [- 2 x - 4])$

Étape 4.7.2

Associez ${(- 2 x - 4)}^{- \frac{4}{3}}$ et $\frac{1}{3}$ .

$4 (- \frac{{(- 2 x - 4)}^{- \frac{4}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [- 2 x - 4])$

Étape 4.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.3.1

Placez ${(- 2 x - 4)}^{- \frac{4}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{3 {(- 2 x - 4)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [- 2 x - 4])$

Étape 4.7.3.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4 (\frac{1}{3 {(- 2 x - 4)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [- 2 x - 4])$

Étape 4.7.4

Associez $\frac{1}{3 {(- 2 x - 4)}^{\frac{4}{3}}}$ et $- 4$ .

$\frac{- 4}{3 {(- 2 x - 4)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [- 2 x - 4]$

Étape 4.7.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4}{3 {(- 2 x - 4)}^{\frac{4}{3}}} \frac{d}{d x} [- 2 x - 4]$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- \frac{4}{3 {(- 2 x - 4)}^{\frac{4}{3}}} (\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 4.9

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{4}{3 {(- 2 x - 4)}^{\frac{4}{3}}} (- 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{4}{3 {(- 2 x - 4)}^{\frac{4}{3}}} (- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 4.11

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- \frac{4}{3 {(- 2 x - 4)}^{\frac{4}{3}}} (- 2 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Étape 4.12

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{4}{3 {(- 2 x - 4)}^{\frac{4}{3}}} (- 2 + 0)$

Étape 4.13

Associez les fractions.

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Étape 4.13.1

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$- \frac{4}{3 {(- 2 x - 4)}^{\frac{4}{3}}} \cdot - 2$

Étape 4.13.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 \frac{4}{3 {(- 2 x - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.13.3

Associez $2$ et $\frac{4}{3 {(- 2 x - 4)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3 {(- 2 x - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 4.13.4

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{8}{3 {(- 2 x - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{8}{3 {(- 2 x - 4)}^{\frac{4}{3}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{3 {(- 2 x - 4)}^{\frac{4}{3}}}$