Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Étape 1

L’intégrale n’a pas pu être terminée en utilisant la substitution u. Mathway utilisera une autre méthode.

Étape 2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\int_{0}^{2} \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Étape 3

L’intégrale de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{0}^{2}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}]_{0}^{2}$

Étape 4.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Évaluez $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}$ sur $2$ et sur $0$ .

$(\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2}) - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{2})}{2}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 (0)}{2})}{2}$

Étape 4.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

Étape 4.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})}{2}$

Étape 4.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{0}{1})}{2}$

Étape 4.2.2.2.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (0)}{2}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\arctan (1) - \arctan (0)}{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$\frac{\frac{π}{4} - \arctan (0)}{2}$

Étape 4.3.2.2

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$\frac{\frac{π}{4} - 0}{2}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{\frac{π}{4} + 0}{2}$

Étape 4.3.3

Additionnez $\frac{π}{4}$ et $0$ .

$\frac{\frac{π}{4}}{2}$

Étape 4.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 4.3.5

Multipliez $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.3.5.1

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{4 \cdot 2}$

Étape 4.3.5.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{π}{8}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{8}$

Forme décimale :

$0.39269908 \dots$

Étape 6