Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x) \cdot e^{x}$

Étape 1

Écrivez $\sin (x) \cdot e^{x}$ comme une fonction.

$f (x) = \sin (x) \cdot e^{x}$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \sin (x) \cdot e^{x} d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sin (x)$ et $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $\cos (x)$ .

$\sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Étape 6

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \cos (x)$ et $d v = e^{x}$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Étape 8

Simplifiez en multipliant.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Étape 8.2

Multipliez $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ par $1$ .

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Étape 8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Étape 9

En résolvant $\int \sin (x) \cdot e^{x} d x$ , nous trouvons que $\int \sin (x) \cdot e^{x} d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Étape 10

Réécrivez $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ comme $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ .

$\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \sin (x) \cdot e^{x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$