Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d}{d x} (- 4 x^{- 2} - 5 x^{- \frac{5}{2}})$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 4 x^{- 2} - 5 x^{- \frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- \frac{5}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- \frac{5}{2}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x^{- 2}]$ .

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Étape 2.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- \frac{5}{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- \frac{5}{2}}]$

Étape 2.3

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{- \frac{5}{2}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x^{- \frac{5}{2}}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x^{- \frac{5}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{2}}]$ .

$8 x^{- 3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{5}{2}}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{5}{2}$ .

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1})$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 5 - 2}{2}})$

Étape 3.6.2

Soustrayez $2$ de $- 5$ .

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{\frac{- 7}{2}})$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{5}{2} x^{- \frac{7}{2}})$

Étape 3.8

Associez $x^{- \frac{7}{2}}$ et $\frac{5}{2}$ .

$8 x^{- 3} - 5 (- \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2})$

Étape 3.9

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$8 x^{- 3} + 5 \frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$

Étape 3.10

Associez $5$ et $\frac{x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2}$ .

$8 x^{- 3} + \frac{5 (x^{- \frac{7}{2}} \cdot 5)}{2}$

Étape 3.11

Multipliez $5$ par $5$ .

$8 x^{- 3} + \frac{25 x^{- \frac{7}{2}}}{2}$

Étape 3.12

Placez $x^{- \frac{7}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{- 3} + \frac{25}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 \frac{1}{x^{3}} + \frac{25}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Étape 4.2

Associez $8$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{8}{x^{3}} + \frac{25}{2 x^{\frac{7}{2}}}$