Calcul infinitésimal Exemples

$\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$

Étape 1

Remettez dans l’ordre $e^{- θ}$ et $\cos (2 θ)$ .

$\int \cos (2 θ) e^{- θ} d θ$

Étape 2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \cos (2 θ)$ et $d v = e^{- θ}$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (- 2 \sin (2 θ)) d θ$

Étape 3

Comme $- - 2$ est constant par rapport à $θ$ , placez $- - 2$ en dehors de l’intégrale.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (- - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Étape 4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ$

Étape 4.3

Remettez dans l’ordre $e^{- θ}$ et $\sin (2 θ)$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int \sin (2 θ) e^{- θ} d θ$

Étape 5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sin (2 θ)$ et $d v = e^{- θ}$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (2 \cos (2 θ)) d θ)$

Étape 6

Comme $- 1 \cdot 2$ est constant par rapport à $θ$ , placez $- 1 \cdot 2$ en dehors de l’intégrale.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

Étape 7

Simplifiez en multipliant.

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Étape 7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

Étape 7.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Étape 7.4

Multipliez.

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Étape 7.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Étape 7.4.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ$

Étape 8

En résolvant $\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ , nous trouvons que $\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ = $\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5}$ .

$\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5} + C$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Réécrivez $\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ comme $\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ .

$\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Factorisez $e^{- θ}$ à partir de $- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ .

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Étape 9.2.1.1

Factorisez $e^{- θ}$ à partir de $- \cos (2 θ) e^{- θ}$ .

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

Étape 9.2.1.2

Factorisez $e^{- θ}$ à partir de $2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ .

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Étape 9.2.1.3

Factorisez $e^{- θ}$ à partir de $e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))$ .

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Étape 9.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos (2 θ)$ .

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Étape 9.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $2 \sin (2 θ)$ .

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Étape 9.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ))$ .

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Étape 9.2.5

Réécrivez $- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ comme $- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ .

$\frac{e^{- θ} (- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Étape 9.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{5} e^{- θ} (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)) + C$