Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{(x^{2} + 49) (4 x^{2} - 49)}$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Développez $(x^{2} + 49) (4 x^{2} - 49)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{x^{2} (4 x^{2} - 49) + 49 (4 x^{2} - 49)}$

Étape 1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} \cdot - 49 + 49 (4 x^{2} - 49)}$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} \cdot - 49 + 49 (4 x^{2}) + 49 \cdot - 49}$

Étape 1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 49 + 49 (4 x^{2}) + 49 \cdot - 49}$

Étape 1.2.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 49 + 49 (4 x^{2}) + 49 \cdot - 49}$

Étape 1.2.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 49 + 49 (4 x^{2}) + 49 \cdot - 49}$

Étape 1.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{4} + x^{2} \cdot - 49 + 49 (4 x^{2}) + 49 \cdot - 49}$

Étape 1.2.1.3

Déplacez $- 49$ à gauche de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{4} - 49 \cdot x^{2} + 49 (4 x^{2}) + 49 \cdot - 49}$

Étape 1.2.1.4

Multipliez $4$ par $49$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{4} - 49 x^{2} + 196 x^{2} + 49 \cdot - 49}$

Étape 1.2.1.5

Multipliez $49$ par $- 49$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{4} - 49 x^{2} + 196 x^{2} - 2401}$

Étape 1.2.2

Additionnez $- 49 x^{2}$ et $196 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{4} - 49}{4 x^{4} + 147 x^{2} - 2401}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 49}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{147 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{- 49}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{147 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Étape 3.1.1.2

Divisez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{- 49}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{147 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Étape 3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{147 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{\frac{4 x^{4}}{x^{4}} + \frac{147 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{4 + \frac{147 x^{2}}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{4}$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $147 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot 147}{x^{4}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Étape 3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot 147}{x^{2} x^{2}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Étape 3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{4 + \frac{x^{2} \cdot 147}{x^{2} x^{2}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Étape 3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{4 + \frac{147}{x^{2}} + \frac{- 2401}{x^{4}}}$

Étape 3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{49}{x^{4}}}{4 + \frac{147}{x^{2}} - \frac{2401}{x^{4}}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{49}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{147}{x^{2}} - \frac{2401}{x^{4}}}$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{49}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{147}{x^{2}} - \frac{2401}{x^{4}}}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{4 - lim_{x \to \infty} \frac{49}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{147}{x^{2}} - \frac{2401}{x^{4}}}$

Étape 3.6

Placez le terme $49$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 - 49 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{147}{x^{2}} - \frac{2401}{x^{4}}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{4}}$ approche de $0$ .

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{147}{x^{2}} - \frac{2401}{x^{4}}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{147}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{2401}{x^{4}}}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{147}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{2401}{x^{4}}}$

Étape 5.3

Placez le terme $147$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{4 + 147 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} \frac{2401}{x^{4}}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{4 + 147 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{2401}{x^{4}}}$

Étape 7

Placez le terme $2401$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{4 + 147 \cdot 0 - 2401 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{4}}$ approche de $0$ .

$\frac{4 - 49 \cdot 0}{4 + 147 \cdot 0 - 2401 \cdot 0}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Multipliez $- 49$ par $0$ .

$\frac{4 + 0}{4 + 147 \cdot 0 - 2401 \cdot 0}$

Étape 9.1.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{4}{4 + 147 \cdot 0 - 2401 \cdot 0}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Multipliez $147$ par $0$ .

$\frac{4}{4 + 0 - 2401 \cdot 0}$

Étape 9.2.2

Multipliez $- 2401$ par $0$ .

$\frac{4}{4 + 0 + 0}$

Étape 9.2.3

Additionnez $4 + 0$ et $0$ .

$\frac{4}{4 + 0}$

Étape 9.2.4

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{4}{4}$

Étape 9.3

Divisez $4$ par $4$ .

$1$