Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x^{3} - 4)}^{2} {(3 x + 7)}^{3}}{{(3 x^{2} - 2)}^{4} (4 x + 13)}$

Étape 1

Simplifiez

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x^{3} - 4)}^{2} {(3 x + 7)}^{3}}{{(3 x^{2} - 2)}^{4} (4 x) + {(3 x^{2} - 2)}^{4} \cdot 13}$

Étape 1.2

Déplacez $13$ à gauche de ${(3 x^{2} - 2)}^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x^{3} - 4)}^{2} {(3 x + 7)}^{3}}{{(3 x^{2} - 2)}^{4} \cdot 4 x + 13 \cdot {(3 x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 1.3

Déplacez $4$ à gauche de ${(3 x^{2} - 2)}^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x^{3} - 4)}^{2} {(3 x + 7)}^{3}}{4 {(3 x^{2} - 2)}^{4} x + 13 {(3 x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 {(3 x^{2} - 2)}^{4} x + 13 {(3 x^{2} - 2)}^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{{(2 x^{3} - 4)}^{2} {(3 x + 7)}^{3}}{4 x {(3 x^{2} - 2)}^{4} + 13 {(3 x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{{(\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 4}{x^{3}})}^{2} {(\frac{3 x}{x} + \frac{7}{x})}^{3}}{4 x {(\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}})}^{4} + 13 {(\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}})}^{4}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{{(\frac{2 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 4}{x^{3}})}^{2} {(\frac{3 x}{x} + \frac{7}{x})}^{3}}{4 x {(\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}})}^{4} + 13 {(\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{2}})}^{4}}$ approche de $0$ .

$0$