Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0^{+}} {\sin (x)}^{\tan (x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${\sin (x)}^{\tan (x)}$ comme $e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({\sin (x)}^{\tan (x)})$ en déplaçant $\tan (x)$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\tan (x) \ln (\sin (x))}$

Étape 2

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x) \ln (\sin (x))}$

Étape 3

Réécrivez $\tan (x) \ln (\sin (x))$ comme $\frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}}}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

Étape 4.1.2

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln (\sin (x))$ diminue sans borne.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\tan (x)}}}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 4.1.3.1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}}$

Étape 4.1.3.1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}$

Étape 4.1.3.1.3

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}}$

Étape 4.1.3.2

Comme les valeurs $x$ approchent de $0$ par la droite, les valeurs de la fonction augmentent sans borne.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Étape 4.1.3.3

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Étape 4.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Étape 4.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{1}{\tan (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Étape 4.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Étape 4.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\sin (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Étape 4.3.4

Associez $\frac{1}{\sin (x)}$ et $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\tan (x)}]}}$

Étape 4.3.5

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}]}}$

Étape 4.3.6

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Étape 4.3.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Étape 4.3.8

Simplifiez

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Étape 4.3.8.1

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Étape 4.3.8.2

Multipliez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\sin (x)}]}}$

Étape 4.3.9

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.10

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x) \cdot - 1 \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.11

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.12

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.15

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.16

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.17

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.19

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.20

Simplifiez

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Étape 4.3.20.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.20.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.20.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.20.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.20.1.4

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.20.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 4.3.20.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)}}}$

Étape 4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot - 1 \sin^{2} (x)}$

Étape 4.5

Associez $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ et $\sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\cos (x) \sin^{2} (x)}{\sin (x)}}$

Étape 4.6

Annulez le facteur commun à $\sin^{2} (x)$ et $\sin (x)$ .

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Étape 4.6.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $\cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x)}}$

Étape 4.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.6.2.1

Multipliez par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}}$

Étape 4.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \cos (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}}$

Étape 4.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\cos (x) \sin (x)}{1}}$

Étape 4.6.2.4

Divisez $\cos (x) \sin (x)$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \cos (x) \sin (x)}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \sin (x)}$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

Étape 5.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{- \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (x)}$

Étape 5.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{- \cos (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \cos (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- \cos (0) \cdot \sin (0)}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{- 1 \cdot 1 \cdot \sin (0)}$

Étape 7.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{- 1 \cdot \sin (0)}$

Étape 7.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{- 1 \cdot 0}$

Étape 7.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e^{0}$

Étape 8

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$