Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \tan (- 2 x) - \sin (2 x)$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{6}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{6}} \tan (- 2 x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (2 x)$

Étape 2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\tan (lim_{x \to \frac{π}{6}} - 2 x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (2 x)$

Étape 3

Placez le terme $- 2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\tan (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - lim_{x \to \frac{π}{6}} \sin (2 x)$

Étape 4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\tan (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - \sin (lim_{x \to \frac{π}{6}} 2 x)$

Étape 5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\tan (- 2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x) - \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{6}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{6}$ pour $x$ .

$\tan (- 2 \frac{π}{6}) - \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{6}} x)$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{6}$ pour $x$ .

$\tan (- 2 \frac{π}{6}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\tan (2 (- 1) \frac{π}{6}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Étape 7.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\tan (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Étape 7.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\tan (2 \cdot - 1 \frac{π}{2 \cdot 3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Étape 7.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\tan (- \frac{π}{3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Étape 7.1.2

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\tan (\frac{5 π}{3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Étape 7.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le quatrième quadrant.

$- \tan (\frac{π}{3}) - \sin (2 \frac{π}{6})$

Étape 7.1.4

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3} - \sin (2 \frac{π}{6})$

Étape 7.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- \sqrt{3} - \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Étape 7.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$- \sqrt{3} - \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Étape 7.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$- \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

Étape 7.1.6

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7.2

Pour écrire $- \sqrt{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7.3

Associez $- \sqrt{3}$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.5.2

Soustrayez $\sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Forme décimale :

$- 2.59807621 \dots$