Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{- 4 x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Étape 1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int - \frac{4 x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Étape 2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{4 x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- (4 \int \frac{x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x)$

Étape 4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 4 \int \frac{x}{{(1 - 2 x^{2})}^{2}} d x$

Étape 5

Laissez $u = 1 - 2 x^{2}$ . Alors $d u = - 4 x d x$ , donc $- \frac{1}{4} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 1 - 2 x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $1 - 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 5.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$0 - 4 x$

Étape 5.1.4

Soustrayez $4 x$ de $0$ .

$- 4 x$

Étape 5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- 4 \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 \int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{4}) d u$

Étape 6.2

Multipliez $\frac{1}{u^{2}}$ par $\frac{1}{4}$ .

$- 4 \int - \frac{1}{u^{2} \cdot 4} d u$

Étape 6.3

Déplacez $4$ à gauche de $u^{2}$ .

$- 4 \int - \frac{1}{4 u^{2}} d u$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- 4 (- \int \frac{1}{4 u^{2}} d u)$

Étape 8

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$4 \int \frac{1}{4 u^{2}} d u$

Étape 9

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Étape 10

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.1

Simplifiez

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Étape 10.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 10.1.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{4} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 10.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 10.1.3

Multipliez $\int \frac{1}{u^{2}} d u$ par $1$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u$

Étape 10.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 10.2.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 10.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 10.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 10.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C$

Étape 12

Réécrivez $- u^{- 1} + C$ comme $- \frac{1}{u} + C$ .

$- \frac{1}{u} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - 2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{1 - 2 x^{2}} + C$