Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} + 10$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} + 10$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{4}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.2.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$16 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x$ et $0$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x^{3}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 2.2.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (- 2 x)$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x - 2 \frac{d}{d x} x$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x - 2 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + 12 x - 2$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{4}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Étape 4.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$16 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$16 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 4.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 4.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 4.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 4.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [10]$

Étape 4.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.5.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10$ par rapport à $x$ est $0$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x + 0$

Étape 4.1.5.2

Additionnez $16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x$ et $0$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x = 0$

Étape 5.2

Factorisez $2 x$ à partir de $16 x^{3} + 6 x^{2} - 2 x$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $16 x^{3}$ .

$2 x (8 x^{2}) + 6 x^{2} - 2 x = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $2 x$ à partir de $6 x^{2}$ .

$2 x (8 x^{2}) + 2 x (3 x) - 2 x = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x$ .

$2 x (8 x^{2}) + 2 x (3 x) + 2 x (- 1) = 0$

Étape 5.2.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (8 x^{2}) + 2 x (3 x)$ .

$2 x (8 x^{2} + 3 x) + 2 x (- 1) = 0$

Étape 5.2.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (8 x^{2} + 3 x) + 2 x (- 1)$ .

$2 x (8 x^{2} + 3 x - 1) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$8 x^{2} + 3 x - 1 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $8 x^{2} + 3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $8 x^{2} + 3 x - 1$ égal à $0$ .

$8 x^{2} + 3 x - 1 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $8 x^{2} + 3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 8$ , $b = 3$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (8 \cdot - 1)}}{2 \cdot 8}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez

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Étape 5.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 8}$

Étape 5.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 8 \cdot - 1$ .

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Étape 5.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32 \cdot - 1}}{2 \cdot 8}$

Étape 5.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 32$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 32}}{2 \cdot 8}$

Étape 5.5.2.3.1.3

Additionnez $9$ et $32$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 8}$

Étape 5.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{41}}{16}$

Étape 5.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 5.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 8}$

Étape 5.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 8 \cdot - 1$ .

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Étape 5.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32 \cdot - 1}}{2 \cdot 8}$

Étape 5.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 32$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 32}}{2 \cdot 8}$

Étape 5.5.2.4.1.3

Additionnez $9$ et $32$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 8}$

Étape 5.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{41}}{16}$

Étape 5.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 3 + \sqrt{41}}{16}$

Étape 5.5.2.4.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{41}}{16}$

Étape 5.5.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{41}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{41})}{16}$

Étape 5.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{41})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{41})}{16}$

Étape 5.5.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$

Étape 5.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 5.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.2.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 8}$

Étape 5.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 8 \cdot - 1$ .

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Étape 5.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32 \cdot - 1}}{2 \cdot 8}$

Étape 5.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 32$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 32}}{2 \cdot 8}$

Étape 5.5.2.5.1.3

Additionnez $9$ et $32$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{41}}{2 \cdot 8}$

Étape 5.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{41}}{16}$

Étape 5.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 3 - \sqrt{41}}{16}$

Étape 5.5.2.5.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{41}}{16}$

Étape 5.5.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{41}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{41})}{16}$

Étape 5.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (\sqrt{41})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{41})}{16}$

Étape 5.5.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$

Étape 5.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - \sqrt{41}}{16}, - \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (8 x^{2} + 3 x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - \frac{3 - \sqrt{41}}{16}, - \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - \frac{3 - \sqrt{41}}{16}, - \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$48 {(0)}^{2} + 12 (0) - 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$48 \cdot 0 + 12 (0) - 2$

Étape 9.1.2

Multipliez $48$ par $0$ .

$0 + 12 (0) - 2$

Étape 9.1.3

Multipliez $12$ par $0$ .

$0 + 0 - 2$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 - 2$

Étape 9.2.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$- 2$

Étape 10

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = 4 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 10$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 + 2 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 10$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 10$

Étape 11.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0 - {(0)}^{2} + 10$

Étape 11.2.1.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - {(0)}^{2} + 10$

Étape 11.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 0 + 10$

Étape 11.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 10$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 11.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 10$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$f (0) = 0 + 10$

Étape 11.2.2.3

Additionnez $0$ et $10$ .

$f (0) = 10$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $10$ .

$y = 10$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$48 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 13.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ .

$48 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2}) + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ .

$48 ({(- 1)}^{2} \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$48 (1 \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.3

Multipliez $\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}$ par $1$ .

$48 \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.4

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$48 \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{256} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.5

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 13.1.5.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$16 (3) \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{256} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.5.2

Factorisez $16$ à partir de $256$ .

$16 \cdot 3 \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16 \cdot 16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$16 \cdot 3 \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16 \cdot 16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$3 \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.6

Associez $3$ et $\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16}$ .

$\frac{3 {(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.7

Réécrivez ${(3 - \sqrt{41})}^{2}$ comme $(3 - \sqrt{41}) (3 - \sqrt{41})$ .

$\frac{3 ((3 - \sqrt{41}) (3 - \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.8

Développez $(3 - \sqrt{41}) (3 - \sqrt{41})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 13.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 (3 - \sqrt{41}) - \sqrt{41} (3 - \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{41}) - \sqrt{41} (3 - \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{41}) - \sqrt{41} \cdot 3 - \sqrt{41} (- \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 13.1.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.9.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 (9 + 3 (- \sqrt{41}) - \sqrt{41} \cdot 3 - \sqrt{41} (- \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.9.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - \sqrt{41} \cdot 3 - \sqrt{41} (- \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.9.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} - \sqrt{41} (- \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.9.1.4

Multipliez $- \sqrt{41} (- \sqrt{41})$ .

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Étape 13.1.9.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 1 \sqrt{41} \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.9.1.4.2

Multipliez $\sqrt{41}$ par $1$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.9.1.4.3

Élevez $\sqrt{41}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + {\sqrt{41}}^{1} \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.9.1.4.4

Élevez $\sqrt{41}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + {\sqrt{41}}^{1} {\sqrt{41}}^{1})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.9.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + {\sqrt{41}}^{1 + 1})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.9.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + {\sqrt{41}}^{2})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.9.1.5

Réécrivez ${\sqrt{41}}^{2}$ comme $41$ .

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Étape 13.1.9.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{41}$ comme $41^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + {(41^{\frac{1}{2}})}^{2})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.9.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.9.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41^{\frac{2}{2}})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.9.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.9.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41^{\frac{2}{2}})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.9.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41^{1})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.9.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 (9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41)}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.9.2

Additionnez $9$ et $41$ .

$\frac{3 (50 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.9.3

Soustrayez $3 \sqrt{41}$ de $- 3 \sqrt{41}$ .

$\frac{3 (50 - 6 \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.10

Annulez le facteur commun à $50 - 6 \sqrt{41}$ et $16$ .

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Étape 13.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $3 (50 - 6 \sqrt{41})$ .

$\frac{2 (3 (25 - 3 \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 (3 (25 - 3 \sqrt{41}))}{2 (8)} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 (25 - 3 \sqrt{41}))}{2 \cdot 8} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} + 12 (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 13.1.11

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 13.1.11.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ dans le numérateur.

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} + 12 \frac{- (3 - \sqrt{41})}{16} - 2$

Étape 13.1.11.2

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} + 4 (3) \frac{- (3 - \sqrt{41})}{16} - 2$

Étape 13.1.11.3

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} + 4 \cdot 3 \frac{- (3 - \sqrt{41})}{4 \cdot 4} - 2$

Étape 13.1.11.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} + 4 \cdot 3 \frac{- (3 - \sqrt{41})}{4 \cdot 4} - 2$

Étape 13.1.11.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} + 3 \frac{- (3 - \sqrt{41})}{4} - 2$

Étape 13.1.12

Associez $3$ et $\frac{- (3 - \sqrt{41})}{4}$ .

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} + \frac{3 (- (3 - \sqrt{41}))}{4} - 2$

Étape 13.1.13

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} + \frac{- 3 (3 - \sqrt{41})}{4} - 2$

Étape 13.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{41})}{4} - 2$

Étape 13.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 13.2.1

Multipliez $\frac{3 (3 - \sqrt{41})}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} - (\frac{3 (3 - \sqrt{41})}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 2$

Étape 13.2.2

Multipliez $\frac{3 (3 - \sqrt{41})}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2}{4 \cdot 2} - 2$

Étape 13.2.3

Écrivez $- 2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 2}{1}$

Étape 13.2.4

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 13.2.5

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 2 \cdot 8}{8}$

Étape 13.2.6

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 2 \cdot 8}{8}$

Étape 13.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8}$

Étape 13.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (25 - 3 \sqrt{41}) - 3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 25 + 3 (- 3 \sqrt{41}) - 3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.2

Multipliez $3$ par $25$ .

$\frac{75 + 3 (- 3 \sqrt{41}) - 3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{75 - 9 \sqrt{41} - 3 (3 - \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{75 - 9 \sqrt{41} + (- 3 \cdot 3 - 3 (- \sqrt{41})) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.5

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{75 - 9 \sqrt{41} + (- 9 - 3 (- \sqrt{41})) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.6

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{75 - 9 \sqrt{41} + (- 9 + 3 \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{75 - 9 \sqrt{41} - 9 \cdot 2 + 3 \sqrt{41} \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.8

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$\frac{75 - 9 \sqrt{41} - 18 + 3 \sqrt{41} \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.9

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{75 - 9 \sqrt{41} - 18 + 6 \sqrt{41} - 2 \cdot 8}{8}$

Étape 13.4.10

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$\frac{75 - 9 \sqrt{41} - 18 + 6 \sqrt{41} - 16}{8}$

Étape 13.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 13.5.1

Soustrayez $18$ de $75$ .

$\frac{57 - 9 \sqrt{41} + 6 \sqrt{41} - 16}{8}$

Étape 13.5.2

Soustrayez $16$ de $57$ .

$\frac{41 - 9 \sqrt{41} + 6 \sqrt{41}}{8}$

Étape 13.5.3

Additionnez $- 9 \sqrt{41}$ et $6 \sqrt{41}$ .

$\frac{41 - 3 \sqrt{41}}{8}$

Étape 14

$x = - \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = 4 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{4} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = 4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{4}) + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = 4 ({(- 1)}^{4} (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{4}}{16^{4}})) + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = 4 (1 (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{4}}{16^{4}})) + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.3

Multipliez $\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{4}}{16^{4}}$ par $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = 4 (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{4}}{16^{4}}) + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.4

Élevez $16$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = 4 (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{4}}{65536}) + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 15.2.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $65536$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = 4 (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{4}}{4 (16384)}) + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = 4 (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{4}}{4 \cdot 16384}) + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.6

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{3^{4} + 4 \cdot (3^{3} (- \sqrt{41})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{41})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.7.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 4 \cdot (3^{3} (- \sqrt{41})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{41})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 4 \cdot (27 (- \sqrt{41})) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{41})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.3

Multipliez $4$ par $27$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 (- \sqrt{41}) + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{41})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.4

Multipliez $- 1$ par $108$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 6 \cdot (3^{2} {(- \sqrt{41})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 6 \cdot (9 {(- \sqrt{41})}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.6

Multipliez $6$ par $9$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 54 {(- \sqrt{41})}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.7

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 54 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{41}}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.8

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 54 (1 {\sqrt{41}}^{2}) + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.9

Multipliez ${\sqrt{41}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 54 {\sqrt{41}}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.10

Réécrivez ${\sqrt{41}}^{2}$ comme $41$ .

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Étape 15.2.1.7.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{41}$ comme $41^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 54 {(41^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 54 \cdot 41^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 54 \cdot 41^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.7.10.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 15.2.1.7.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 54 \cdot 41 + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.10.5

Évaluez l’exposant.

Étape 15.2.1.7.11

Multipliez $54$ par $41$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 4 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.12

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 {(- \sqrt{41})}^{3} + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.13

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{41}}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.14

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 (- {\sqrt{41}}^{3}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.15

Réécrivez ${\sqrt{41}}^{3}$ comme $\sqrt{41^{3}}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 (- \sqrt{41^{3}}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.16

Élevez $41$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 (- \sqrt{68921}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.17

Réécrivez $68921$ comme $41^{2} \cdot 41$ .

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Étape 15.2.1.7.17.1

Factorisez $1681$ à partir de $68921$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 (- \sqrt{1681 (41)}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.17.2

Réécrivez $1681$ comme $41^{2}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 (- \sqrt{41^{2} \cdot 41}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.18

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 (- (41 \sqrt{41})) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.19

Multipliez $41$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 (- 41 \sqrt{41}) + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.20

Multipliez $- 41$ par $12$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + {(- \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.21

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.22

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + 1 {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.23

Multipliez ${\sqrt{41}}^{4}$ par $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.24

Réécrivez ${\sqrt{41}}^{4}$ comme $41^{2}$ .

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Étape 15.2.1.7.24.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{41}$ comme $41^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + {(41^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.24.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.24.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{4}{2}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.24.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 15.2.1.7.24.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.24.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.7.24.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.24.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.24.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{2}{1}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.24.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + 41^{2}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.7.25

Élevez $41$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 - 108 \sqrt{41} + 2214 - 492 \sqrt{41} + 1681}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.8

Additionnez $81$ et $2214$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{2295 - 108 \sqrt{41} - 492 \sqrt{41} + 1681}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.9

Additionnez $2295$ et $1681$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{3976 - 108 \sqrt{41} - 492 \sqrt{41}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.10

Soustrayez $492 \sqrt{41}$ de $- 108 \sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{3976 - 600 \sqrt{41}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.11

Annulez le facteur commun à $3976 - 600 \sqrt{41}$ et $16384$ .

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Étape 15.2.1.11.1

Factorisez $8$ à partir de $3976$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497) - 600 \sqrt{41}}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.11.2

Factorisez $8$ à partir de $- 600 \sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497) + 8 (- 75 \sqrt{41})}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.11.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (497) + 8 (- 75 \sqrt{41})$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497 - 75 \sqrt{41})}{16384} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.11.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.11.4.1

Factorisez $8$ à partir de $16384$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497 - 75 \sqrt{41})}{8 \cdot 2048} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.11.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497 - 75 \sqrt{41})}{8 \cdot 2048} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.11.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.12

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.12.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{3}) - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.12.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{3}}{16^{3}})) - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.13

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (- \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{3}}{16^{3}}) - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.14

Élevez $16$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (- \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{3}}{4096}) - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.15.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{3}}{4096}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (\frac{- {(3 - \sqrt{41})}^{3}}{4096}) - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.15.2

Factorisez $2$ à partir de $4096$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (\frac{- {(3 - \sqrt{41})}^{3}}{2 (2048)}) - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.15.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (\frac{- {(3 - \sqrt{41})}^{3}}{2 \cdot 2048}) - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.15.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- {(3 - \sqrt{41})}^{3}}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.16

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (3^{3} + 3 \cdot (3^{2} (- \sqrt{41})) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{2}) + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.17.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 3 \cdot (3^{2} (- \sqrt{41})) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{2}) + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.2

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.2.1.17.2.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 15.2.1.17.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

Étape 15.2.1.17.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 3^{1 + 2} (- \sqrt{41}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{2}) + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 3^{3} (- \sqrt{41}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{2}) + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 (- \sqrt{41}) + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{2}) + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.4

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 3 \cdot (3 {(- \sqrt{41})}^{2}) + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 {(- \sqrt{41})}^{2} + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.6

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{41}}^{2}) + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 (1 {\sqrt{41}}^{2}) + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.8

Multipliez ${\sqrt{41}}^{2}$ par $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 {\sqrt{41}}^{2} + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.9

Réécrivez ${\sqrt{41}}^{2}$ comme $41$ .

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Étape 15.2.1.17.9.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{41}$ comme $41^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 {(41^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.9.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.9.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.9.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.17.9.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.9.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41 + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.9.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41 + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.10

Multipliez $9$ par $41$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 369 + {(- \sqrt{41})}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.11

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 369 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.12

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 369 - {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.13

Réécrivez ${\sqrt{41}}^{3}$ comme $\sqrt{41^{3}}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 369 - \sqrt{41^{3}})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.14

Élevez $41$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 369 - \sqrt{68921})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.15

Réécrivez $68921$ comme $41^{2} \cdot 41$ .

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Étape 15.2.1.17.15.1

Factorisez $1681$ à partir de $68921$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 369 - \sqrt{1681 (41)})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.15.2

Réécrivez $1681$ comme $41^{2}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 369 - \sqrt{41^{2} \cdot 41})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 369 - (41 \sqrt{41}))}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.17.17

Multipliez $41$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 - 27 \sqrt{41} + 369 - 41 \sqrt{41})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.18

Additionnez $27$ et $369$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (396 - 27 \sqrt{41} - 41 \sqrt{41})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.19

Soustrayez $41 \sqrt{41}$ de $- 27 \sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (396 - 68 \sqrt{41})}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.20

Annulez le facteur commun à $396 - 68 \sqrt{41}$ et $2048$ .

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Étape 15.2.1.20.1

Factorisez $4$ à partir de $- (396 - 68 \sqrt{41})$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{4 (- (99 - 17 \sqrt{41}))}{2048} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.20.2.1

Factorisez $4$ à partir de $2048$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{4 (- (99 - 17 \sqrt{41}))}{4 (512)} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{4 (- (99 - 17 \sqrt{41}))}{4 \cdot 512} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (99 - 17 \sqrt{41})}{512} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - {(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 15.2.1.22

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 15.2.1.22.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 - \sqrt{41}}{16})}^{2}) + 10$

Étape 15.2.1.22.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 - \sqrt{41}}{16}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - ({(- 1)}^{2} (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}})) + 10$

Étape 15.2.1.23

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 15.2.1.23.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 10$

Étape 15.2.1.23.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 15.2.1.23.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}})) + 10$

Étape 15.2.1.23.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 10$

Étape 15.2.1.23.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} + {(- 1)}^{3} (\frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 10$

Étape 15.2.1.24

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}} + 10$

Étape 15.2.1.25

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{{(3 - \sqrt{41})}^{2}}{256} + 10$

Étape 15.2.1.26

Réécrivez ${(3 - \sqrt{41})}^{2}$ comme $(3 - \sqrt{41}) (3 - \sqrt{41})$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{(3 - \sqrt{41}) (3 - \sqrt{41})}{256} + 10$

Étape 15.2.1.27

Développez $(3 - \sqrt{41}) (3 - \sqrt{41})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 15.2.1.27.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{3 (3 - \sqrt{41}) - \sqrt{41} (3 - \sqrt{41})}{256} + 10$

Étape 15.2.1.27.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{41}) - \sqrt{41} (3 - \sqrt{41})}{256} + 10$

Étape 15.2.1.27.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{41}) - \sqrt{41} \cdot 3 - \sqrt{41} (- \sqrt{41})}{256} + 10$

Étape 15.2.1.28

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 15.2.1.28.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.28.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 + 3 (- \sqrt{41}) - \sqrt{41} \cdot 3 - \sqrt{41} (- \sqrt{41})}{256} + 10$

Étape 15.2.1.28.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - \sqrt{41} \cdot 3 - \sqrt{41} (- \sqrt{41})}{256} + 10$

Étape 15.2.1.28.1.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} - \sqrt{41} (- \sqrt{41})}{256} + 10$

Étape 15.2.1.28.1.4

Multipliez $- \sqrt{41} (- \sqrt{41})$ .

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Étape 15.2.1.28.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 1 \sqrt{41} \sqrt{41}}{256} + 10$

Étape 15.2.1.28.1.4.2

Multipliez $\sqrt{41}$ par $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} \sqrt{41}}{256} + 10$

Étape 15.2.1.28.1.4.3

Élevez $\sqrt{41}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} \sqrt{41}}{256} + 10$

Étape 15.2.1.28.1.4.4

Élevez $\sqrt{41}$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} \sqrt{41}}{256} + 10$

Étape 15.2.1.28.1.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + {\sqrt{41}}^{1 + 1}}{256} + 10$

Étape 15.2.1.28.1.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + {\sqrt{41}}^{2}}{256} + 10$

Étape 15.2.1.28.1.5

Réécrivez ${\sqrt{41}}^{2}$ comme $41$ .

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Étape 15.2.1.28.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{41}$ comme $41^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + {(41^{\frac{1}{2}})}^{2}}{256} + 10$

Étape 15.2.1.28.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{256} + 10$

Étape 15.2.1.28.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41^{\frac{2}{2}}}{256} + 10$

Étape 15.2.1.28.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.28.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41^{\frac{2}{2}}}{256} + 10$

Étape 15.2.1.28.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41}{256} + 10$

Étape 15.2.1.28.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41} + 41}{256} + 10$

Étape 15.2.1.28.2

Additionnez $9$ et $41$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{50 - 3 \sqrt{41} - 3 \sqrt{41}}{256} + 10$

Étape 15.2.1.28.3

Soustrayez $3 \sqrt{41}$ de $- 3 \sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{50 - 6 \sqrt{41}}{256} + 10$

Étape 15.2.1.29

Annulez le facteur commun à $50 - 6 \sqrt{41}$ et $256$ .

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Étape 15.2.1.29.1

Factorisez $2$ à partir de $50$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25) - 6 \sqrt{41}}{256} + 10$

Étape 15.2.1.29.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6 \sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25) + 2 (- 3 \sqrt{41})}{256} + 10$

Étape 15.2.1.29.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (25) + 2 (- 3 \sqrt{41})$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25 - 3 \sqrt{41})}{256} + 10$

Étape 15.2.1.29.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 15.2.1.29.4.1

Factorisez $2$ à partir de $256$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25 - 3 \sqrt{41})}{2 \cdot 128} + 10$

Étape 15.2.1.29.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25 - 3 \sqrt{41})}{2 \cdot 128} + 10$

Étape 15.2.1.29.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{25 - 3 \sqrt{41}}{128} + 10$

Étape 15.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 15.2.2.1

Multipliez $\frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - (\frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512} \cdot \frac{4}{4}) - \frac{25 - 3 \sqrt{41}}{128} + 10$

Étape 15.2.2.2

Multipliez $\frac{99 - 17 \sqrt{41}}{512}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{25 - 3 \sqrt{41}}{128} + 10$

Étape 15.2.2.3

Multipliez $\frac{25 - 3 \sqrt{41}}{128}$ par $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - (\frac{25 - 3 \sqrt{41}}{128} \cdot \frac{16}{16}) + 10$

Étape 15.2.2.4

Multipliez $\frac{25 - 3 \sqrt{41}}{128}$ par $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{(25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + 10$

Étape 15.2.2.5

Écrivez $10$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{(25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10}{1}$

Étape 15.2.2.6

Multipliez $\frac{10}{1}$ par $\frac{2048}{2048}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{(25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10}{1} \cdot \frac{2048}{2048}$

Étape 15.2.2.7

Multipliez $\frac{10}{1}$ par $\frac{2048}{2048}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{(25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 15.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $512 \cdot 4$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{4 \cdot 512} - \frac{(25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 15.2.2.9

Multipliez $4$ par $512$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{2048} - \frac{(25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 15.2.2.10

Réorganisez les facteurs de $128 \cdot 16$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{2048} - \frac{(25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{16 \cdot 128} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 15.2.2.11

Multipliez $16$ par $128$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{2048} - \frac{(25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{2048} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - (99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4 - (25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 15.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} + (- 1 \cdot 99 - (- 17 \sqrt{41})) \cdot 4 - (25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 15.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $99$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} + (- 99 - (- 17 \sqrt{41})) \cdot 4 - (25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 15.2.4.3

Multipliez $- 17$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} + (- 99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4 - (25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 15.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 99 \cdot 4 + 17 \sqrt{41} \cdot 4 - (25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 15.2.4.5

Multipliez $- 99$ par $4$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 396 + 17 \sqrt{41} \cdot 4 - (25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 15.2.4.6

Multipliez $4$ par $17$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 396 + 68 \sqrt{41} - (25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 15.2.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 396 + 68 \sqrt{41} + (- 1 \cdot 25 - (- 3 \sqrt{41})) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 15.2.4.8

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 396 + 68 \sqrt{41} + (- 25 - (- 3 \sqrt{41})) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 15.2.4.9

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 396 + 68 \sqrt{41} + (- 25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 15.2.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 396 + 68 \sqrt{41} - 25 \cdot 16 + 3 \sqrt{41} \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 15.2.4.11

Multipliez $- 25$ par $16$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 396 + 68 \sqrt{41} - 400 + 3 \sqrt{41} \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 15.2.4.12

Multipliez $16$ par $3$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 396 + 68 \sqrt{41} - 400 + 48 \sqrt{41} + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 15.2.4.13

Multipliez $10$ par $2048$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 - 75 \sqrt{41} - 396 + 68 \sqrt{41} - 400 + 48 \sqrt{41} + 20480}{2048}$

Étape 15.2.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 15.2.5.1

Soustrayez $396$ de $497$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{101 - 75 \sqrt{41} + 68 \sqrt{41} - 400 + 48 \sqrt{41} + 20480}{2048}$

Étape 15.2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 15.2.5.2.1

Soustrayez $400$ de $101$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{- 299 - 75 \sqrt{41} + 68 \sqrt{41} + 48 \sqrt{41} + 20480}{2048}$

Étape 15.2.5.2.2

Additionnez $- 299$ et $20480$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{20181 - 75 \sqrt{41} + 68 \sqrt{41} + 48 \sqrt{41}}{2048}$

Étape 15.2.5.3

Additionnez $- 75 \sqrt{41}$ et $68 \sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{20181 - 7 \sqrt{41} + 48 \sqrt{41}}{2048}$

Étape 15.2.5.4

Additionnez $- 7 \sqrt{41}$ et $48 \sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}) = \frac{20181 + 41 \sqrt{41}}{2048}$

Étape 15.2.6

La réponse finale est $\frac{20181 + 41 \sqrt{41}}{2048}$ .

$y = \frac{20181 + 41 \sqrt{41}}{2048}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$48 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 17.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ .

$48 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2}) + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ .

$48 ({(- 1)}^{2} \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$48 (1 \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.3

Multipliez $\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}$ par $1$ .

$48 \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.4

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$48 \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{256} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.5

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 17.1.5.1

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$16 (3) \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{256} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.5.2

Factorisez $16$ à partir de $256$ .

$16 \cdot 3 \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16 \cdot 16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$16 \cdot 3 \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16 \cdot 16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$3 \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.6

Associez $3$ et $\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16}$ .

$\frac{3 {(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.7

Réécrivez ${(3 + \sqrt{41})}^{2}$ comme $(3 + \sqrt{41}) (3 + \sqrt{41})$ .

$\frac{3 ((3 + \sqrt{41}) (3 + \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.8

Développez $(3 + \sqrt{41}) (3 + \sqrt{41})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 17.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 (3 + \sqrt{41}) + \sqrt{41} (3 + \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} (3 + \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (3 \cdot 3 + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} \cdot 3 + \sqrt{41} \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 17.1.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.9.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} \cdot 3 + \sqrt{41} \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.9.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{41}$ .

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{41} + 3 \cdot \sqrt{41} + \sqrt{41} \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.9.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41 \cdot 41})}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.9.1.4

Multipliez $41$ par $41$ .

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41} + \sqrt{1681})}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.9.1.5

Réécrivez $1681$ comme $41^{2}$ .

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41^{2}})}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.9.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{3 (9 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41} + 41)}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.9.2

Additionnez $9$ et $41$ .

$\frac{3 (50 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.9.3

Additionnez $3 \sqrt{41}$ et $3 \sqrt{41}$ .

$\frac{3 (50 + 6 \sqrt{41})}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.10

Annulez le facteur commun à $50 + 6 \sqrt{41}$ et $16$ .

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Étape 17.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $3 (50 + 6 \sqrt{41})$ .

$\frac{2 (3 (25 + 3 \sqrt{41}))}{16} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.1.10.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{2 (3 (25 + 3 \sqrt{41}))}{2 (8)} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 (25 + 3 \sqrt{41}))}{2 \cdot 8} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} + 12 (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) - 2$

Étape 17.1.11

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 17.1.11.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ dans le numérateur.

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} + 12 \frac{- (3 + \sqrt{41})}{16} - 2$

Étape 17.1.11.2

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} + 4 (3) \frac{- (3 + \sqrt{41})}{16} - 2$

Étape 17.1.11.3

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} + 4 \cdot 3 \frac{- (3 + \sqrt{41})}{4 \cdot 4} - 2$

Étape 17.1.11.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} + 4 \cdot 3 \frac{- (3 + \sqrt{41})}{4 \cdot 4} - 2$

Étape 17.1.11.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} + 3 \frac{- (3 + \sqrt{41})}{4} - 2$

Étape 17.1.12

Associez $3$ et $\frac{- (3 + \sqrt{41})}{4}$ .

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} + \frac{3 (- (3 + \sqrt{41}))}{4} - 2$

Étape 17.1.13

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} + \frac{- 3 (3 + \sqrt{41})}{4} - 2$

Étape 17.1.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{41})}{4} - 2$

Étape 17.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 17.2.1

Multipliez $\frac{3 (3 + \sqrt{41})}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} - (\frac{3 (3 + \sqrt{41})}{4} \cdot \frac{2}{2}) - 2$

Étape 17.2.2

Multipliez $\frac{3 (3 + \sqrt{41})}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2}{4 \cdot 2} - 2$

Étape 17.2.3

Écrivez $- 2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 2}{1}$

Étape 17.2.4

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{8}{8}$

Étape 17.2.5

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{8}{8}$ .

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{- 2 \cdot 8}{8}$

Étape 17.2.6

Réorganisez les facteurs de $4 \cdot 2$ .

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{- 2 \cdot 8}{8}$

Étape 17.2.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41})}{8} - \frac{3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2}{8} + \frac{- 2 \cdot 8}{8}$

Étape 17.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (25 + 3 \sqrt{41}) - 3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 25 + 3 (3 \sqrt{41}) - 3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.2

Multipliez $3$ par $25$ .

$\frac{75 + 3 (3 \sqrt{41}) - 3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{75 + 9 \sqrt{41} - 3 (3 + \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{75 + 9 \sqrt{41} + (- 3 \cdot 3 - 3 \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.5

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{75 + 9 \sqrt{41} + (- 9 - 3 \sqrt{41}) \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{75 + 9 \sqrt{41} - 9 \cdot 2 - 3 \sqrt{41} \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.7

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$\frac{75 + 9 \sqrt{41} - 18 - 3 \sqrt{41} \cdot 2 - 2 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.8

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{75 + 9 \sqrt{41} - 18 - 6 \sqrt{41} - 2 \cdot 8}{8}$

Étape 17.4.9

Multipliez $- 2$ par $8$ .

$\frac{75 + 9 \sqrt{41} - 18 - 6 \sqrt{41} - 16}{8}$

Étape 17.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 17.5.1

Soustrayez $18$ de $75$ .

$\frac{57 + 9 \sqrt{41} - 6 \sqrt{41} - 16}{8}$

Étape 17.5.2

Soustrayez $16$ de $57$ .

$\frac{41 + 9 \sqrt{41} - 6 \sqrt{41}}{8}$

Étape 17.5.3

Soustrayez $6 \sqrt{41}$ de $9 \sqrt{41}$ .

$\frac{41 + 3 \sqrt{41}}{8}$

Étape 18

$x = - \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ dans l’expression.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = 4 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{4} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 19.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = 4 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{4}) + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = 4 ({(- 1)}^{4} (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{4}}{16^{4}})) + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = 4 (1 (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{4}}{16^{4}})) + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.3

Multipliez $\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{4}}{16^{4}}$ par $1$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = 4 (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{4}}{16^{4}}) + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.4

Élevez $16$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = 4 (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{4}}{65536}) + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 19.2.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $65536$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = 4 (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{4}}{4 (16384)}) + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = 4 (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{4}}{4 \cdot 16384}) + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.6

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{3^{4} + 4 \cdot (3^{3} \sqrt{41}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{41}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.7.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 4 \cdot (3^{3} \sqrt{41}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{41}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 4 \cdot (27 \sqrt{41}) + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{41}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.3

Multipliez $4$ par $27$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 6 \cdot (3^{2} {\sqrt{41}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 6 \cdot (9 {\sqrt{41}}^{2}) + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.5

Multipliez $6$ par $9$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 54 {\sqrt{41}}^{2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.6

Réécrivez ${\sqrt{41}}^{2}$ comme $41$ .

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Étape 19.2.1.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{41}$ comme $41^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 54 {(41^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 54 \cdot 41^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 54 \cdot 41^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

Étape 19.2.1.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 54 \cdot 41 + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.6.5

Évaluez l’exposant.

Étape 19.2.1.7.7

Multipliez $54$ par $41$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 4 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{3}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.8

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 {\sqrt{41}}^{3} + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.9

Réécrivez ${\sqrt{41}}^{3}$ comme $\sqrt{41^{3}}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 \sqrt{41^{3}} + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.10

Élevez $41$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 \sqrt{68921} + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.11

Réécrivez $68921$ comme $41^{2} \cdot 41$ .

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Étape 19.2.1.7.11.1

Factorisez $1681$ à partir de $68921$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 \sqrt{1681 (41)} + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.11.2

Réécrivez $1681$ comme $41^{2}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 \sqrt{41^{2} \cdot 41} + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.12

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 12 (41 \sqrt{41}) + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.13

Multipliez $41$ par $12$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + {\sqrt{41}}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.14

Réécrivez ${\sqrt{41}}^{4}$ comme $41^{2}$ .

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Étape 19.2.1.7.14.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{41}$ comme $41^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + {(41^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.14.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.14.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{4}{2}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.14.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 19.2.1.7.14.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.14.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.1.7.14.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.14.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.14.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + 41^{\frac{2}{1}}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.14.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + 41^{2}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.7.15

Élevez $41$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{81 + 108 \sqrt{41} + 2214 + 492 \sqrt{41} + 1681}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.8

Additionnez $81$ et $2214$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{2295 + 108 \sqrt{41} + 492 \sqrt{41} + 1681}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.9

Additionnez $2295$ et $1681$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{3976 + 108 \sqrt{41} + 492 \sqrt{41}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.10

Additionnez $108 \sqrt{41}$ et $492 \sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{3976 + 600 \sqrt{41}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.11

Annulez le facteur commun à $3976 + 600 \sqrt{41}$ et $16384$ .

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Étape 19.2.1.11.1

Factorisez $8$ à partir de $3976$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497) + 600 \sqrt{41}}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.11.2

Factorisez $8$ à partir de $600 \sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497) + 8 (75 \sqrt{41})}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.11.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (497) + 8 (75 \sqrt{41})$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497 + 75 \sqrt{41})}{16384} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.11.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.1.11.4.1

Factorisez $8$ à partir de $16384$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497 + 75 \sqrt{41})}{8 \cdot 2048} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.11.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{8 (497 + 75 \sqrt{41})}{8 \cdot 2048} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.11.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.12

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 19.2.1.12.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{3}) - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.12.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{3}}{16^{3}})) - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.13

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (- \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{3}}{16^{3}}) - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.14

Élevez $16$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (- \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{3}}{4096}) - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.15

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.15.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{3}}{4096}$ dans le numérateur.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (\frac{- {(3 + \sqrt{41})}^{3}}{4096}) - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.15.2

Factorisez $2$ à partir de $4096$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (\frac{- {(3 + \sqrt{41})}^{3}}{2 (2048)}) - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.15.3

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + 2 (\frac{- {(3 + \sqrt{41})}^{3}}{2 \cdot 2048}) - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.15.4

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- {(3 + \sqrt{41})}^{3}}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.16

Utilisez le théorème du binôme.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (3^{3} + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{41}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{2}) + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.17

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.17.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 3 \cdot (3^{2} \sqrt{41}) + 3 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{2}) + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.17.2

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.2.1.17.2.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 19.2.1.17.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

Étape 19.2.1.17.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 3^{1 + 2} \sqrt{41} + 3 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{2}) + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.17.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 3^{3} \sqrt{41} + 3 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{2}) + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.17.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 3 \cdot (3 {\sqrt{41}}^{2}) + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.17.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 9 {\sqrt{41}}^{2} + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.17.5

Réécrivez ${\sqrt{41}}^{2}$ comme $41$ .

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Étape 19.2.1.17.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{41}$ comme $41^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 9 {(41^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.17.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.17.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.17.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.17.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.17.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41 + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.17.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 9 \cdot 41 + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.17.6

Multipliez $9$ par $41$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 369 + {\sqrt{41}}^{3})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.17.7

Réécrivez ${\sqrt{41}}^{3}$ comme $\sqrt{41^{3}}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 369 + \sqrt{41^{3}})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.17.8

Élevez $41$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 369 + \sqrt{68921})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.17.9

Réécrivez $68921$ comme $41^{2} \cdot 41$ .

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Étape 19.2.1.17.9.1

Factorisez $1681$ à partir de $68921$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 369 + \sqrt{1681 (41)})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.17.9.2

Réécrivez $1681$ comme $41^{2}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 369 + \sqrt{41^{2} \cdot 41})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.17.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (27 + 27 \sqrt{41} + 369 + 41 \sqrt{41})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.18

Additionnez $27$ et $369$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (396 + 27 \sqrt{41} + 41 \sqrt{41})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.19

Additionnez $27 \sqrt{41}$ et $41 \sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (396 + 68 \sqrt{41})}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.20

Annulez le facteur commun à $396 + 68 \sqrt{41}$ et $2048$ .

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Étape 19.2.1.20.1

Factorisez $4$ à partir de $- (396 + 68 \sqrt{41})$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{4 (- (99 + 17 \sqrt{41}))}{2048} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.20.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.1.20.2.1

Factorisez $4$ à partir de $2048$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{4 (- (99 + 17 \sqrt{41}))}{4 (512)} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.20.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{4 (- (99 + 17 \sqrt{41}))}{4 \cdot 512} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.20.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} + \frac{- (99 + 17 \sqrt{41})}{512} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - {(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2} + 10$

Étape 19.2.1.22

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 19.2.1.22.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 + \sqrt{41}}{16})}^{2}) + 10$

Étape 19.2.1.22.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + \sqrt{41}}{16}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - ({(- 1)}^{2} (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}})) + 10$

Étape 19.2.1.23

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 19.2.1.23.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 10$

Étape 19.2.1.23.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 19.2.1.23.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}})) + 10$

Étape 19.2.1.23.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 10$

Étape 19.2.1.23.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} + {(- 1)}^{3} (\frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}}) + 10$

Étape 19.2.1.24

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{16^{2}} + 10$

Étape 19.2.1.25

Élevez $16$ à la puissance $2$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{{(3 + \sqrt{41})}^{2}}{256} + 10$

Étape 19.2.1.26

Réécrivez ${(3 + \sqrt{41})}^{2}$ comme $(3 + \sqrt{41}) (3 + \sqrt{41})$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{(3 + \sqrt{41}) (3 + \sqrt{41})}{256} + 10$

Étape 19.2.1.27

Développez $(3 + \sqrt{41}) (3 + \sqrt{41})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 19.2.1.27.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{3 (3 + \sqrt{41}) + \sqrt{41} (3 + \sqrt{41})}{256} + 10$

Étape 19.2.1.27.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} (3 + \sqrt{41})}{256} + 10$

Étape 19.2.1.27.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{3 \cdot 3 + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} \cdot 3 + \sqrt{41} \sqrt{41}}{256} + 10$

Étape 19.2.1.28

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 19.2.1.28.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.28.1.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41} \cdot 3 + \sqrt{41} \sqrt{41}}{256} + 10$

Étape 19.2.1.28.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 + 3 \sqrt{41} + 3 \cdot \sqrt{41} + \sqrt{41} \sqrt{41}}{256} + 10$

Étape 19.2.1.28.1.3

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41 \cdot 41}}{256} + 10$

Étape 19.2.1.28.1.4

Multipliez $41$ par $41$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41} + \sqrt{1681}}{256} + 10$

Étape 19.2.1.28.1.5

Réécrivez $1681$ comme $41^{2}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41} + \sqrt{41^{2}}}{256} + 10$

Étape 19.2.1.28.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{9 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41} + 41}{256} + 10$

Étape 19.2.1.28.2

Additionnez $9$ et $41$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{50 + 3 \sqrt{41} + 3 \sqrt{41}}{256} + 10$

Étape 19.2.1.28.3

Additionnez $3 \sqrt{41}$ et $3 \sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{50 + 6 \sqrt{41}}{256} + 10$

Étape 19.2.1.29

Annulez le facteur commun à $50 + 6 \sqrt{41}$ et $256$ .

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Étape 19.2.1.29.1

Factorisez $2$ à partir de $50$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25) + 6 \sqrt{41}}{256} + 10$

Étape 19.2.1.29.2

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25) + 2 (3 \sqrt{41})}{256} + 10$

Étape 19.2.1.29.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (25) + 2 (3 \sqrt{41})$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25 + 3 \sqrt{41})}{256} + 10$

Étape 19.2.1.29.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 19.2.1.29.4.1

Factorisez $2$ à partir de $256$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25 + 3 \sqrt{41})}{2 \cdot 128} + 10$

Étape 19.2.1.29.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{2 (25 + 3 \sqrt{41})}{2 \cdot 128} + 10$

Étape 19.2.1.29.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} - \frac{25 + 3 \sqrt{41}}{128} + 10$

Étape 19.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 19.2.2.1

Multipliez $\frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - (\frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512} \cdot \frac{4}{4}) - \frac{25 + 3 \sqrt{41}}{128} + 10$

Étape 19.2.2.2

Multipliez $\frac{99 + 17 \sqrt{41}}{512}$ par $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{25 + 3 \sqrt{41}}{128} + 10$

Étape 19.2.2.3

Multipliez $\frac{25 + 3 \sqrt{41}}{128}$ par $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - (\frac{25 + 3 \sqrt{41}}{128} \cdot \frac{16}{16}) + 10$

Étape 19.2.2.4

Multipliez $\frac{25 + 3 \sqrt{41}}{128}$ par $\frac{16}{16}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{(25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + 10$

Étape 19.2.2.5

Écrivez $10$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{(25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10}{1}$

Étape 19.2.2.6

Multipliez $\frac{10}{1}$ par $\frac{2048}{2048}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{(25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10}{1} \cdot \frac{2048}{2048}$

Étape 19.2.2.7

Multipliez $\frac{10}{1}$ par $\frac{2048}{2048}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{512 \cdot 4} - \frac{(25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 19.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $512 \cdot 4$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{4 \cdot 512} - \frac{(25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 19.2.2.9

Multipliez $4$ par $512$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{2048} - \frac{(25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{128 \cdot 16} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 19.2.2.10

Réorganisez les facteurs de $128 \cdot 16$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{2048} - \frac{(25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{16 \cdot 128} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 19.2.2.11

Multipliez $16$ par $128$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41}}{2048} - \frac{(99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4}{2048} - \frac{(25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16}{2048} + \frac{10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 19.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - (99 + 17 \sqrt{41}) \cdot 4 - (25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 19.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} + (- 1 \cdot 99 - (17 \sqrt{41})) \cdot 4 - (25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 19.2.4.2

Multipliez $- 1$ par $99$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} + (- 99 - (17 \sqrt{41})) \cdot 4 - (25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 19.2.4.3

Multipliez $17$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} + (- 99 - 17 \sqrt{41}) \cdot 4 - (25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 19.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 99 \cdot 4 - 17 \sqrt{41} \cdot 4 - (25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 19.2.4.5

Multipliez $- 99$ par $4$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 396 - 17 \sqrt{41} \cdot 4 - (25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 19.2.4.6

Multipliez $4$ par $- 17$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 396 - 68 \sqrt{41} - (25 + 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 19.2.4.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 396 - 68 \sqrt{41} + (- 1 \cdot 25 - (3 \sqrt{41})) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 19.2.4.8

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 396 - 68 \sqrt{41} + (- 25 - (3 \sqrt{41})) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 19.2.4.9

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 396 - 68 \sqrt{41} + (- 25 - 3 \sqrt{41}) \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 19.2.4.10

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 396 - 68 \sqrt{41} - 25 \cdot 16 - 3 \sqrt{41} \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 19.2.4.11

Multipliez $- 25$ par $16$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 396 - 68 \sqrt{41} - 400 - 3 \sqrt{41} \cdot 16 + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 19.2.4.12

Multipliez $16$ par $- 3$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 396 - 68 \sqrt{41} - 400 - 48 \sqrt{41} + 10 \cdot 2048}{2048}$

Étape 19.2.4.13

Multipliez $10$ par $2048$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{497 + 75 \sqrt{41} - 396 - 68 \sqrt{41} - 400 - 48 \sqrt{41} + 20480}{2048}$

Étape 19.2.5

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 19.2.5.1

Soustrayez $396$ de $497$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{101 + 75 \sqrt{41} - 68 \sqrt{41} - 400 - 48 \sqrt{41} + 20480}{2048}$

Étape 19.2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 19.2.5.2.1

Soustrayez $400$ de $101$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{- 299 + 75 \sqrt{41} - 68 \sqrt{41} - 48 \sqrt{41} + 20480}{2048}$

Étape 19.2.5.2.2

Additionnez $- 299$ et $20480$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{20181 + 75 \sqrt{41} - 68 \sqrt{41} - 48 \sqrt{41}}{2048}$

Étape 19.2.5.3

Soustrayez $68 \sqrt{41}$ de $75 \sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{20181 + 7 \sqrt{41} - 48 \sqrt{41}}{2048}$

Étape 19.2.5.4

Soustrayez $48 \sqrt{41}$ de $7 \sqrt{41}$ .

$f (- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}) = \frac{20181 - 41 \sqrt{41}}{2048}$

Étape 19.2.6

La réponse finale est $\frac{20181 - 41 \sqrt{41}}{2048}$ .

$y = \frac{20181 - 41 \sqrt{41}}{2048}$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 4 x^{4} + 2 x^{3} - x^{2} + 10$ .

$(0, 10)$ est un maximum local

$(- \frac{3 - \sqrt{41}}{16}, \frac{20181 + 41 \sqrt{41}}{2048})$ est un minimum local

$(- \frac{3 + \sqrt{41}}{16}, \frac{20181 - 41 \sqrt{41}}{2048})$ est un minimum local

Étape 21