Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{3 y^{2}}$ , $y (2) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{3 y^{2}}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Étape 1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{- 2 x}{y^{2} \cdot 3}$

Étape 1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x}{3}$

Étape 1.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{3}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y^{2} d y = - \frac{2 x}{3} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int - \frac{2 x}{3} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{2 x}{3} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{2 x}{3} d x$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{2}{3} \int x d x)$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $- \frac{2}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{6} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 2.3.4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 (1)}{6} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.4.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{3} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (- \frac{1}{3} x^{2} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{3} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{3}) + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x^{2}}{3}$ dans le numérateur.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{2}}{3} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = 3 \frac{- x^{2}}{3} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = - x^{2} + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 3 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $2$ et $y$ par $1$ dans $y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$ .

$1 = \sqrt[3]{- 2^{2} + K}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt[3]{- 2^{2} + K} = 1$ .

$\sqrt[3]{- 2^{2} + K} = 1$

Étape 6.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{- 2^{2} + K}}^{3} = 1^{3}$

Étape 6.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{- 2^{2} + K}$ comme ${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez ${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(- 2^{2} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(- 2^{2} + K)}^{1} = 1^{3}$

Étape 6.3.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.2.1.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

${(- 1 \cdot 4 + K)}^{1} = 1^{3}$

Étape 6.3.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

${(- 4 + K)}^{1} = 1^{3}$

Étape 6.3.2.1.3

Simplifiez

$- 4 + K = 1^{3}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 4 + K = 1$

Étape 6.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.4.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$K = 1 + 4$

Étape 6.4.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$K = 5$

Étape 7

Remplacez $K$ par $5$ dans $y = \sqrt[3]{- x^{2} + K}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $5$ .

$y = \sqrt[3]{- x^{2} + 5}$