Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (x) \cos^{2} (x)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x)$ .

$\sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\sin (x) (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (x)$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \sin (x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 6

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 7

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 9

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 10

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{2} (x) \cos (x)$

Étape 11

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 11.1

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ .

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Étape 11.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{2} (x) \cos^{1} (x)$

Étape 11.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + {\cos (x)}^{2 + 1}$

Étape 11.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 2 \sin^{2} (x) \cos (x) + \cos^{3} (x)$