Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} - e^{2}}{h}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{h \to 0} e^{2 + h} - e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} e^{2 + h} - lim_{h \to 0} e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{h \to 0} 2 + h} - lim_{h \to 0} e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{e^{lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{e^{2 + lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $e^{2}$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{e^{2 + lim_{h \to 0} h} - e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{e^{2 + 0} - e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{e^{2} - e^{2}}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $e^{2}$ de $e^{2}$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} - e^{2}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{2 + h} - e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{2 + h} - e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{2 + h} - e^{2}$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [e^{2 + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{2}]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{2 + h}] + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d h} [e^{2 + h}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ est $f' (g (h)) g' (h)$ où $f (h) = e^{h}$ et $g (h) = 2 + h$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} \frac{d}{d h} [2 + h] + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + h$ par rapport à $h$ est $\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} (\frac{d}{d h} [2] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $2$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.3.6

Multipliez $e^{2 + h}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} + \frac{d}{d h} [- e^{2}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.4

Comme $- e^{2}$ est constant par rapport à $h$ , la dérivée de $- e^{2}$ par rapport à $h$ est $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $e^{2 + h}$ et $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ est $n h^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{e^{2 + h}}{1}$

Étape 1.4

Divisez $e^{2 + h}$ par $1$ .

$lim_{h \to 0} e^{2 + h}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{h \to 0} 2 + h}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$e^{lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} h}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$e^{2 + lim_{h \to 0} h}$

Étape 3

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$e^{2 + 0}$

Étape 4

Additionnez $2$ et $0$ .

$e^{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e^{2}$

Forme décimale :

$7.38905609 \dots$