Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{2} \sqrt{2 x + 1} d x$

Étape 1

Laissez $u = 2 x + 1$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Laissez $u = 2 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 2 x + 1$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 1.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 2 x + 1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 2 + 1$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Étape 1.5.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$u_{upper} = 5$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Étape 2

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{5} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Étape 3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

Étape 4

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $5$ et sur $1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Étape 6.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Étape 6.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3})$

Étape 7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{3})$

Étape 7.2

Associez.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} (- \frac{2}{3})$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}$

Étape 7.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}$

Étape 7.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Étape 7.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 7.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 (2 \cdot 5^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 \cdot (5^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 7.4.3

Multipliez $5^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 1}{3}$

Étape 7.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{1}{3}$

Forme décimale :

$3.39344662 \dots$

Étape 9