Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.3.1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Étape 1.1.3.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Étape 1.1.3.1.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x^{2}}}$

Étape 1.1.3.1.6

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + 0^{2}}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1 + 0}}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{0}{1 - \sqrt{1}}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \sqrt{1 + x^{2}}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \sqrt{1 + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Étape 1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]}$

Étape 1.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{1 + x^{2}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x^{2}}$ comme ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.5.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.5.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}$

Étape 1.3.5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}$

Étape 1.3.5.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])}$

Étape 1.3.5.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))}$

Étape 1.3.5.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))}$

Étape 1.3.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))}$

Étape 1.3.5.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))}$

Étape 1.3.5.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))}$

Étape 1.3.5.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))}$

Étape 1.3.5.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))}$

Étape 1.3.5.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))}$

Étape 1.3.5.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))}$

Étape 1.3.5.12

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))}$

Étape 1.3.5.13

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))}$

Étape 1.3.5.14

Associez $2$ et $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - (\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)}$

Étape 1.3.5.15

Associez $\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}$

Étape 1.3.5.16

Placez ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.3.5.17

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.3.5.18

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.3.6

Soustrayez $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} 2 x (- \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x})$

Étape 1.5

Réécrivez ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} 2 x (- \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x})$

Étape 1.6

Combinez les facteurs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} - 2 x \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x}$

Étape 1.6.2

Associez $- 2$ et $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{x}$ .

$lim_{x \to 0} x \frac{- 2 \sqrt{1 + x^{2}}}{x}$

Étape 1.6.3

Associez $x$ et $\frac{- 2 \sqrt{1 + x^{2}}}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 2 \sqrt{1 + x^{2}})}{x}$

Étape 1.7

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.7.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{x (- 2 \sqrt{1 + x^{2}})}{x}$

Étape 1.7.2

Divisez $- 2 \sqrt{1 + x^{2}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} - 2 \sqrt{1 + x^{2}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Placez le terme $- 2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x^{2}}$

Étape 2.2

Placez la limite sous le radical.

$- 2 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- 2 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$- 2 \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- 2 \sqrt{1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- 2 \sqrt{1 + 0^{2}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 2 \sqrt{1 + 0}$

Étape 4.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 2 \sqrt{1}$

Étape 4.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 4.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$