Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5.2

Retirez $x^{\frac{1}{3}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Étape 5.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 5.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) + \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 8

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 8.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 8.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 8.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - \int x^{- 2} d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C) - (- x^{- 1} + C)$

Étape 10

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Étape 10.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} - - x^{- 1} + C$

Étape 10.2

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Étape 10.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} - - x^{- 1} + C$

Étape 10.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} - - x^{- 1} + C$

Étape 10.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} + 1 x^{- 1} + C$

Étape 10.2.4

Multipliez $x^{- 1}$ par $1$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} + x^{- 1} + C$

Étape 11

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} + x^{- 1} + C$