Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x^{3} + y^{3}} = 2 y$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3} + y^{3}}$ comme ${(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (2 y)$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{3} + y^{3}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{3} + y^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{3} + y^{3}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Étape 3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Étape 3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Étape 3.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Étape 3.6

Différenciez.

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Étape 3.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{3} + y^{3})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Étape 3.6.2

Associez les fractions.

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Étape 3.6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{3} + y^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{3} + y^{3})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Étape 3.6.2.2

Placez ${(x^{3} + y^{3})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + y^{3}]$

Étape 3.6.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Étape 3.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.8

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 3 y^{2} y')$

Étape 3.9

Simplifiez

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Étape 3.9.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (3 x^{2} + 3 y^{2} y')$ .

$(3 x^{2} + 3 y^{2} y') \frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.9.2

Multipliez $3 x^{2} + 3 y^{2} y'$ par $\frac{1}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 3 y^{2} y'}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.9.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 y^{2} y'$ .

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Étape 3.9.3.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 y^{2} y'}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.9.3.2

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$\frac{3 (x^{2}) + 3 (y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.9.3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2}) + 3 (y^{2} y')$ .

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 4.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y'$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} = 2 y'$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.1

Multipliez les deux côtés par $2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez $\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{{(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de ${(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.2.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x^{2} + y^{2} y')}{{(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$3 (x^{2} + y^{2} y') = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 3 (y^{2} y') = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1.1.5.1

Déplacez $y^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 y' y^{2} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.5.2

Remettez dans l’ordre $3 x^{2}$ et $3 y' y^{2}$ .

$3 y' y^{2} + 3 x^{2} = 2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $2 y' (2 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 y' y^{2} + 3 x^{2} = 2 \cdot 2 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 y' y^{2} + 3 x^{2} = 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.3.1

Soustrayez $4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y' y^{2} + 3 x^{2} - 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = 0$

Étape 6.3.2

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y' y^{2} - 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = - 3 x^{2}$

Étape 6.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $3 y' y^{2} - 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.3.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 y' y^{2}$ .

$y' (3 y^{2}) - 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}} = - 3 x^{2}$

Étape 6.3.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 4 y' {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = - 3 x^{2}$

Étape 6.3.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 y^{2}) + y' (- 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = - 3 x^{2}$

Étape 6.3.4

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = - 3 x^{2}$ par $3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ et simplifiez.

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Étape 6.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}) = - 3 x^{2}$ par $3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}})}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.4.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 {(x^{3} + y^{3})}^{\frac{1}{2}}}$