Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{\sqrt[4]{9 x^{2} - 5}}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{9 x^{2} - 5}$ comme ${(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{1}{{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $\frac{1}{{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}}}$ comme ${({(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}})}^{- 1}]$

Étape 4.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{1}{4} \cdot - 1}]$

Étape 4.1.2.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 1}{4}}]$

Étape 4.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [{(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{4}}$ et $g (x) = 9 x^{2} - 5$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $9 x^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{4} u^{- \frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $9 x^{2} - 5$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Étape 4.6.2

Soustrayez $4$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{- 5}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4} {(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Étape 4.7.2

Associez ${(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{{(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Étape 4.7.3

Placez ${(9 x^{2} - 5)}^{- \frac{5}{4}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} - 5]$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 4.9

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 4.11

Multipliez $2$ par $9$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (18 x + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 4.12

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (18 x + 0)$

Étape 4.13

Simplifiez les termes.

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Étape 4.13.1

Additionnez $18 x$ et $0$ .

$- \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} (18 x)$

Étape 4.13.2

Multipliez $18$ par $- 1$ .

$- 18 \frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} x$

Étape 4.13.3

Associez $- 18$ et $\frac{1}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$ .

$\frac{- 18}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}} x$

Étape 4.13.4

Associez $\frac{- 18}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$ et $x$ .

$\frac{- 18 x}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

Étape 4.13.5

Factorisez $2$ à partir de $- 18 x$ .

$\frac{2 (- 9 x)}{4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

Étape 4.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.14.1

Factorisez $2$ à partir de $4 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{2 (- 9 x)}{2 (2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}})}$

Étape 4.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 9 x)}{2 (2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}})}$

Étape 4.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

Étape 4.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{9 x}{2 {(9 x^{2} - 5)}^{\frac{5}{4}}}$