Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x^{2} + 2}{2 x - 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 2$ et $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2] - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x + 0) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (2 x) - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $2 x - 1$ .

$\frac{2 \cdot (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.10

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.10.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} + 2) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2.10.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 (2 x - 1) x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x - 2 (x^{2} + 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.1.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4.2

Soustrayez $2 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} - 2 x - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 2 x - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) - 4}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (- 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - x) + 2 (- 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (x^{2} - x) + 2 (- 2)$ .

$\frac{2 (x^{2} - x - 2)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.2

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.5.2.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 1.1.3.5.2.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f' (x) = \frac{2 ((x - 2) (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

$f' (x) = \frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 (x - 2) (x + 1) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.3.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.3.3

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.3.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x - 2) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 2, - 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{2 (x - 2) (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Définissez le $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 3.2.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 3.2.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 3.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 4

Évaluez $\frac{x^{2} + 2}{2 x - 1}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{{(2)}^{2} + 2}{2 (2) - 1}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 + 2}{2 (2) - 1}$

Étape 4.1.2.1.2

Additionnez $4$ et $2$ .

$\frac{6}{2 (2) - 1}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{6}{4 - 1}$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{6}{3}$

Étape 4.1.2.3

Divisez $6$ par $3$ .

$2$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 2}{2 (- 1) - 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1 + 2}{2 (- 1) - 1}$

Étape 4.2.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3}{2 (- 1) - 1}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3}{- 2 - 1}$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$\frac{3}{- 3}$

Étape 4.2.2.3

Divisez $3$ par $- 3$ .

$- 1$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = \frac{1}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Étape 4.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{1 - 1}$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{{(\frac{1}{2})}^{2} + 2}{0}$

Étape 4.3.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(2, 2), (- 1, - 1)$

Étape 5