Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{\cos (2 x) - \sin (x)}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\cos (2 x) - \sin (x)}$ comme ${(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = \cos (2 x) - \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (2 x) - \sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (2 x) - \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Étape 7

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Étape 7.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Étape 7.2.2

Placez ${(\cos (2 x) - \sin (x))}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\cos (2 x) - \sin (x)]$

Étape 7.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (2 x) - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Étape 8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Étape 8.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Étape 8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Étape 9

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Étape 9.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Étape 9.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)])$

Étape 9.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 10

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) - \cos (x))$

Étape 11

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}} (- 2 \sin (2 x) - \cos (x))$ .

$(- 2 \sin (2 x) - \cos (x)) \frac{1}{2 {(\cos (2 x) - \sin (x))}^{\frac{1}{2}}}$