Calcul infinitésimal Exemples

$x \tan^{2} (x)$

Étape 1

Écrivez $x \tan^{2} (x)$ comme une fonction.

$f (x) = x \tan^{2} (x)$

Étape 2

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 3

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int x \tan^{2} (x) d x$

Étape 4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \tan^{2} (x)$ .

$x (- x + \tan (x)) - \int - x + \tan (x) d x$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x (- x + \tan (x)) - (\int - x d x + \int \tan (x) d x)$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$x (- x + \tan (x)) - (- \int x d x + \int \tan (x) d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x (- x + \tan (x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \tan (x) d x)$

Étape 8

L’intégrale de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) |)$ .

$x (- x + \tan (x)) - (- (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \ln (| \sec (x) |) + C)$

Étape 9

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$x (- x + \tan (x)) - (- (\frac{x^{2}}{2} + C) + \ln (| \sec (x) |) + C)$

Étape 9.2

Simplifiez

$- x \cdot x + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (x^{1} x) + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Étape 9.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- (x^{1} x^{1}) + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Étape 9.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- x^{1 + 1} + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Étape 9.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- x^{2} + x \tan (x) - (- \frac{x^{2}}{2} + \ln (| \sec (x) |)) + C$

Étape 9.4

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Étape 9.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x^{2} + x \tan (x) - - \frac{x^{2}}{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

Étape 9.4.2

Multipliez $- - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Étape 9.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- x^{2} + x \tan (x) + 1 \frac{x^{2}}{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

Étape 9.4.2.2

Multipliez $\frac{x^{2}}{2}$ par $1$ .

$- x^{2} + x \tan (x) + \frac{x^{2}}{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

Étape 9.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x^{2} + x \tan (x) + \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$

Étape 10

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = x \tan^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $- x^{2} + x \tan (x) + \frac{1}{2} x^{2} - \ln (| \sec (x) |) + C$