Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \frac{2}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{2}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{5}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- \frac{2}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{5} x^{5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$- \frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 (\frac{2}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.2.4

Associez $- 5$ et $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$\frac{- 10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.2.6

Associez $\frac{- 10}{5}$ et $x^{4}$ .

$\frac{- 10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.2.7

Annulez le facteur commun à $- 10$ et $5$ .

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Étape 1.2.7.1

Factorisez $5$ à partir de $- 10 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.7.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 (- 2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.2.7.2.4

Divisez $- 2 x^{4}$ par $1$ .

$- 2 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{4} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- 2 x^{4} - \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x^{4} - 2 (\frac{1}{2}) x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 x^{4} + \frac{- 2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.3.5

Associez $\frac{- 2}{2}$ et $x$ .

$- 2 x^{4} + \frac{- 2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.3.6

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$- 2 x^{4} + \frac{2 (- x)}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 2 x^{4} + \frac{2 (- x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 x^{4} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 x^{4} + \frac{- x}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.3.6.2.4

Divisez $- x$ par $1$ .

$- 2 x^{4} - x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$- 2 x^{4} - x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$- 2 x^{4} - x - \frac{1}{2} (- 2 x^{- 3})$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 2 x^{4} - x + 2 (\frac{1}{2}) x^{- 3}$

Étape 1.4.4

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 x^{4} - x + \frac{2}{2} x^{- 3}$

Étape 1.4.5

Associez $\frac{2}{2}$ et $x^{- 3}$ .

$- 2 x^{4} - x + \frac{2 x^{- 3}}{2}$

Étape 1.4.6

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x^{4} - x + \frac{2}{2 x^{3}}$

Étape 1.4.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.7.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 x^{4} - x + \frac{2}{2 x^{3}}$

Étape 1.4.7.2

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = - 2 x^{4} - x + \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 x^{4} - x + \frac{1}{x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$- 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 x^{3} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 8 x^{3} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 8 x^{3} - 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

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Étape 2.4.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 8 x^{3} - 1 + \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{3}$ .

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Étape 2.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3}$ .

$- 8 x^{3} - 1 + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- 8 x^{3} - 1 - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3}$ .

$- 8 x^{3} - 1 - {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 8 x^{3} - 1 - {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})$

Étape 2.4.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Étape 2.4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 x^{3} - 1 - x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$- 8 x^{3} - 1 - x^{- 6} (3 x^{2})$

Étape 2.4.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 8 x^{3} - 1 - 3 x^{- 6} x^{2}$

Étape 2.4.6

Multipliez $x^{- 6}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.6.1

Déplacez $x^{2}$ .

$- 8 x^{3} - 1 - 3 (x^{2} x^{- 6})$

Étape 2.4.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 8 x^{3} - 1 - 3 x^{2 - 6}$

Étape 2.4.6.3

Soustrayez $6$ de $2$ .

$- 8 x^{3} - 1 - 3 x^{- 4}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 x^{3} - 1 - 3 \frac{1}{x^{4}}$

Étape 2.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.5.2.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- 8 x^{3} - 1 + \frac{- 3}{x^{4}}$

Étape 2.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 8 x^{3} - 1 - \frac{3}{x^{4}}$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = - 8 x^{3} - \frac{3}{x^{4}} - 1$