Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{4} {(x - 3)}^{2} + 3 d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{4} {(x - 3)}^{2} d x + \int_{0}^{4} 3 d x$

Étape 2

Laissez $u = x - 3$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = x - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 2.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Étape 2.3

Soustrayez $3$ de $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 4 - 3$

Étape 2.5

Soustrayez $3$ de $4$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 2.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 1$

Étape 2.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{- 3}^{1} u^{2} d u + \int_{0}^{4} 3 d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 3}^{1} + \int_{0}^{4} 3 d x$

Étape 4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{- 3}^{1} + 3 x]_{0}^{4}$

Étape 5

Remplacez et simplifiez.

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Étape 5.1

Évaluez $\frac{1}{3} u^{3}$ sur $1$ et sur $- 3$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + 3 x]_{0}^{4}$

Étape 5.2

Évaluez $3 x$ sur $4$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 5.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- 3)}^{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 5.3.3

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 27 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 5.3.4

Multipliez $- 27$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} + 27 (\frac{1}{3}) + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 5.3.5

Associez $27$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{27}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun à $27$ et $3$ .

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 5.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 (1)} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 5.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} + \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 5.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} + \frac{9}{1} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 5.3.6.2.4

Divisez $9$ par $1$ .

$\frac{1}{3} + 9 + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 5.3.7

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 5.3.8

Associez $9$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 5.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 9 \cdot 3}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 5.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.10.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{1 + 27}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 5.3.10.2

Additionnez $1$ et $27$ .

$\frac{28}{3} + (3 \cdot 4) - 3 \cdot 0$

Étape 5.3.11

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{28}{3} + 12 - 3 \cdot 0$

Étape 5.3.12

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$\frac{28}{3} + 12 + 0$

Étape 5.3.13

Additionnez $12$ et $0$ .

$\frac{28}{3} + 12$

Étape 5.3.14

Pour écrire $12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} + 12 \cdot \frac{3}{3}$

Étape 5.3.15

Associez $12$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3}$

Étape 5.3.16

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{28 + 12 \cdot 3}{3}$

Étape 5.3.17

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.17.1

Multipliez $12$ par $3$ .

$\frac{28 + 36}{3}$

Étape 5.3.17.2

Additionnez $28$ et $36$ .

$\frac{64}{3}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{64}{3}$

Forme décimale :

$21.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$21 \frac{1}{3}$

Étape 7