Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{z \to 3} \frac{z - 3}{\sqrt{4 - z} - 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{z \to 3} z - 3}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $z$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{z \to 3} z - lim_{z \to 3} 3}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - 1}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $z$ approche de $3$ .

$\frac{lim_{z \to 3} z - 1 \cdot 3}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - 1}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $z$ en insérant $3$ pour $z$ .

$\frac{3 - 1 \cdot 3}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - 1}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{3 - 3}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - 1}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{0}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $z$ approche de $3$ .

$\frac{0}{lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z} - lim_{z \to 3} 1}$

Étape 1.1.3.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{z \to 3} 4 - z} - lim_{z \to 3} 1}$

Étape 1.1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $z$ approche de $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{z \to 3} 4 - lim_{z \to 3} z} - lim_{z \to 3} 1}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $z$ approche de $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 - lim_{z \to 3} z} - lim_{z \to 3} 1}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $z$ approche de $3$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 - lim_{z \to 3} z} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.3.6.1

Évaluez la limite de $z$ en insérant $3$ pour $z$ .

$\frac{0}{\sqrt{4 - 3} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.6.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.6.2.1.1

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.6.2.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.6.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.6.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{z \to 3} \frac{z - 3}{\sqrt{4 - z} - 1} = lim_{z \to 3} \frac{\frac{d}{d z} [z - 3]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z} - 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{z \to 3} \frac{\frac{d}{d z} [z - 3]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z} - 1]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $z - 3$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 3]$ .

$lim_{z \to 3} \frac{\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 3]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z} - 1]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1 + \frac{d}{d z} [- 3]}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z} - 1]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $z$ est $0$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z} - 1]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z} - 1]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{4 - z} - 1$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z}] + \frac{d}{d z} [- 1]$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z}] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d z} [\sqrt{4 - z}]$ .

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Étape 1.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 - z}$ comme ${(4 - z)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d z} [{(4 - z)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ est $f' (g (z)) g' (z)$ où $f (z) = z^{\frac{1}{2}}$ et $g (z) = 4 - z$ .

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Étape 1.3.7.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - z$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d z} [4 - z] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [4 - z] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - z$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d z} [4 - z] + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - z$ par rapport à $z$ est $\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- z]$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d z} [4] + \frac{d}{d z} [- z]) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.4

Comme $4$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $4$ par rapport à $z$ est $0$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d z} [- z]) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- z$ par rapport à $z$ est $- \frac{d}{d z} [z]$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d z} [z]) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ est $n z^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.7.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.12

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1) + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.13

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{1}{2} {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1 + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.14

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{{(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1 + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.15

Associez $\frac{{(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $- 1$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{{(4 - z)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.16

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{- 1 \cdot {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.17

Réécrivez $- 1 {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ comme $- {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{- {(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.18

Placez ${(4 - z)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{\frac{- 1}{2 {(4 - z)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.7.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{z \to 3} \frac{1}{- \frac{1}{2 {(4 - z)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d z} [- 1]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $z$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $z$ est $0$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{- \frac{1}{2 {(4 - z)}^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $- \frac{1}{2 {(4 - z)}^{\frac{1}{2}}}$ et $0$ .

$lim_{z \to 3} \frac{1}{- \frac{1}{2 {(4 - z)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{z \to 3} 1 (- (2 {(4 - z)}^{\frac{1}{2}}))$

Étape 1.5

Réécrivez ${(4 - z)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{4 - z}$ .

$lim_{z \to 3} 1 (- (2 \sqrt{4 - z}))$

Étape 1.6

Combinez les facteurs.

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Étape 1.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{z \to 3} 1 (- 2 \sqrt{4 - z})$

Étape 1.6.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{z \to 3} - 2 \sqrt{4 - z}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $- 2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $z$ .

$- 2 lim_{z \to 3} \sqrt{4 - z}$

Étape 2.2

Placez la limite sous le radical.

$- 2 \sqrt{lim_{z \to 3} 4 - z}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $z$ approche de $3$ .

$- 2 \sqrt{lim_{z \to 3} 4 - lim_{z \to 3} z}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $z$ approche de $3$ .

$- 2 \sqrt{4 - lim_{z \to 3} z}$

Étape 2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 2.5.1

Évaluez la limite de $z$ en insérant $3$ pour $z$ .

$- 2 \sqrt{4 - 3}$

Étape 2.5.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $3$ de $4$ .

$- 2 \sqrt{1}$

Étape 2.5.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 2.5.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$