Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 4}^{- 1} x^{2} (3 - 4 x) d x$

Étape 1

Multipliez $x^{2} (3 - 4 x)$ .

$\int_{- 4}^{- 1} x^{2} \cdot 3 + x^{2} (- 4 x) d x$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\int_{- 4}^{- 1} 3 \cdot x^{2} + x^{2} (- 4 x) d x$

Étape 2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1

Déplacez $x$ .

$\int_{- 4}^{- 1} 3 x^{2} + x \cdot x^{2} \cdot - 4 d x$

Étape 2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int_{- 4}^{- 1} 3 x^{2} + x^{1} x^{2} \cdot - 4 d x$

Étape 2.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int_{- 4}^{- 1} 3 x^{2} + x^{1 + 2} \cdot - 4 d x$

Étape 2.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int_{- 4}^{- 1} 3 x^{2} + x^{3} \cdot - 4 d x$

Étape 2.3

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{3}$ .

$\int_{- 4}^{- 1} 3 x^{2} - 4 x^{3} d x$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 4}^{- 1} 3 x^{2} d x + \int_{- 4}^{- 1} - 4 x^{3} d x$

Étape 4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int_{- 4}^{- 1} x^{2} d x + \int_{- 4}^{- 1} - 4 x^{3} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{- 1}) + \int_{- 4}^{- 1} - 4 x^{3} d x$

Étape 6

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{- 1}) + \int_{- 4}^{- 1} - 4 x^{3} d x$

Étape 7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{- 1}) - 4 \int_{- 4}^{- 1} x^{3} d x$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{- 1}) - 4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{- 1})$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 4}^{- 1}) - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 4}^{- 1})$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $- 1$ et sur $- 4$ .

$3 ((\frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{4}}{4}]_{- 4}^{- 1})$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{x^{4}}{4}$ sur $- 1$ et sur $- 4$ .

$3 (\frac{{(- 1)}^{3}}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Étape 9.2.3

Simplifiez

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Étape 9.2.3.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$3 (\frac{- 1}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Étape 9.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (- \frac{1}{3} - \frac{{(- 4)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Étape 9.2.3.3

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$3 (- \frac{1}{3} - \frac{- 64}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Étape 9.2.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (- \frac{1}{3} - - \frac{64}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Étape 9.2.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$3 (- \frac{1}{3} + 1 (\frac{64}{3})) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Étape 9.2.3.6

Multipliez $\frac{64}{3}$ par $1$ .

$3 (- \frac{1}{3} + \frac{64}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Étape 9.2.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{- 1 + 64}{3} - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Étape 9.2.3.8

Additionnez $- 1$ et $64$ .

$3 (\frac{63}{3}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Étape 9.2.3.9

Annulez le facteur commun à $63$ et $3$ .

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Étape 9.2.3.9.1

Factorisez $3$ à partir de $63$ .

$3 \frac{3 \cdot 21}{3} - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Étape 9.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$3 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)} - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Étape 9.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1} - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Étape 9.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 (\frac{21}{1}) - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Étape 9.2.3.9.2.4

Divisez $21$ par $1$ .

$3 \cdot 21 - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Étape 9.2.3.10

Multipliez $3$ par $21$ .

$63 - 4 (\frac{{(- 1)}^{4}}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Étape 9.2.3.11

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$63 - 4 (\frac{1}{4} - \frac{{(- 4)}^{4}}{4})$

Étape 9.2.3.12

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$63 - 4 (\frac{1}{4} - \frac{256}{4})$

Étape 9.2.3.13

Annulez le facteur commun à $256$ et $4$ .

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Étape 9.2.3.13.1

Factorisez $4$ à partir de $256$ .

$63 - 4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 64}{4})$

Étape 9.2.3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.13.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$63 - 4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 64}{4 (1)})$

Étape 9.2.3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$63 - 4 (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1})$

Étape 9.2.3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$63 - 4 (\frac{1}{4} - \frac{64}{1})$

Étape 9.2.3.13.2.4

Divisez $64$ par $1$ .

$63 - 4 (\frac{1}{4} - 1 \cdot 64)$

Étape 9.2.3.14

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$63 - 4 (\frac{1}{4} - 64)$

Étape 9.2.3.15

Pour écrire $- 64$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$63 - 4 (\frac{1}{4} - 64 \cdot \frac{4}{4})$

Étape 9.2.3.16

Associez $- 64$ et $\frac{4}{4}$ .

$63 - 4 (\frac{1}{4} + \frac{- 64 \cdot 4}{4})$

Étape 9.2.3.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$63 - 4 \frac{1 - 64 \cdot 4}{4}$

Étape 9.2.3.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.18.1

Multipliez $- 64$ par $4$ .

$63 - 4 \frac{1 - 256}{4}$

Étape 9.2.3.18.2

Soustrayez $256$ de $1$ .

$63 - 4 (\frac{- 255}{4})$

Étape 9.2.3.19

Placez le signe moins devant la fraction.

$63 - 4 (- \frac{255}{4})$

Étape 9.2.3.20

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$63 + 4 (\frac{255}{4})$

Étape 9.2.3.21

Associez $4$ et $\frac{255}{4}$ .

$63 + \frac{4 \cdot 255}{4}$

Étape 9.2.3.22

Multipliez $4$ par $255$ .

$63 + \frac{1020}{4}$

Étape 9.2.3.23

Annulez le facteur commun à $1020$ et $4$ .

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Étape 9.2.3.23.1

Factorisez $4$ à partir de $1020$ .

$63 + \frac{4 \cdot 255}{4}$

Étape 9.2.3.23.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.23.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$63 + \frac{4 \cdot 255}{4 (1)}$

Étape 9.2.3.23.2.2

Annulez le facteur commun.

$63 + \frac{4 \cdot 255}{4 \cdot 1}$

Étape 9.2.3.23.2.3

Réécrivez l’expression.

$63 + \frac{255}{1}$

Étape 9.2.3.23.2.4

Divisez $255$ par $1$ .

$63 + 255$

Étape 9.2.3.24

Additionnez $63$ et $255$ .

$318$

Étape 10