Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x^{2} + x + 1) (x - 1)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} + x + 1$ et $g (x) = x - 1$ .

$(x^{2} + x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} + x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} + x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Étape 2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} + x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x^{2} + x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Étape 2.4.2

Multipliez $x^{2} + x + 1$ par $1$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 2.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1 + 0)$

Étape 2.9

Additionnez $2 x + 1$ et $0$ .

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x + 1)$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x + 1 + (x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot 1$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot 1$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x + 1 + x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Étape 3.4

Associez des termes.

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Étape 3.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Étape 3.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Étape 3.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Étape 3.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Étape 3.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x \cdot 1 - 1 \cdot 1$

Étape 3.4.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x - 1 \cdot 1$

Étape 3.4.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - 2 x + x - 1$

Étape 3.4.8

Additionnez $- 2 x$ et $x$ .

$x^{2} + x + 1 + 2 x^{2} - x - 1$

Étape 3.4.9

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + x + 1 - x - 1$

Étape 3.4.10

Soustrayez $x$ de $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 1 - 1$

Étape 3.4.11

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2} + 1 - 1$

Étape 3.4.12

Soustrayez $1$ de $1$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 3.4.13

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$