Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 3} \frac{9 - x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 3} 9 - x^{2}}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{lim_{x \to - 3} 9 - lim_{x \to - 3} x^{2}}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{9 - lim_{x \to - 3} x^{2}}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{9 - {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{9 - {(- 3)}^{2}}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x^{3} + 3 x^{2}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 3} x^{3} + lim_{x \to - 3} 3 x^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{3} + lim_{x \to - 3} 3 x^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{3} + 3 lim_{x \to - 3} x^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 3} x)}^{3} + 3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $- 3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(- 3)}^{3} + 3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.6.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$\frac{0}{- 27 + 3 {(- 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{- 27 + 3 \cdot 9}$

Étape 1.1.3.6.1.3

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{0}{- 27 + 27}$

Étape 1.1.3.6.2

Additionnez $- 27$ et $27$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 3} \frac{9 - x^{2}}{x^{3} + 3 x^{2}} = lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [9 - x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Étape 1.3.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{0 - (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{0 - 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Étape 1.3.5

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2}]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + 3 (2 x)}$

Étape 1.3.8.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{- 2 x}{3 x^{2} + 6 x}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $- 2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 2 lim_{x \to - 3} \frac{x}{3 x^{2} + 6 x}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 x^{2} + 6 x}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 3$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{lim_{x \to - 3} 3 x^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x}$

Étape 2.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{3 lim_{x \to - 3} x^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x}$

Étape 2.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- 2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + lim_{x \to - 3} 6 x}$

Étape 2.6

Placez le terme $6$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 2 \frac{lim_{x \to - 3} x}{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $- 3$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$- 2 \frac{- 3}{3 {(lim_{x \to - 3} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$- 2 \frac{- 3}{3 {(- 3)}^{2} + 6 lim_{x \to - 3} x}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 3$ pour $x$ .

$- 2 \frac{- 3}{3 {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3 {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3$ .

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Étape 4.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3$ .

$- 2 \frac{- 3 (1)}{3 {(- 3)}^{2} + 6 \cdot - 3}$

Étape 4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1

Factorisez $- 3$ à partir de $3 {(- 3)}^{2}$ .

$- 2 \frac{- 3 (1)}{- 3 (- {(- 3)}^{2}) + 6 \cdot - 3}$

Étape 4.1.2.2

Factorisez $- 3$ à partir de $6 \cdot - 3$ .

$- 2 \frac{- 3 (1)}{- 3 (- {(- 3)}^{2}) - 3 (- 2 \cdot - 3)}$

Étape 4.1.2.3

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 (- {(- 3)}^{2}) - 3 (- 2 \cdot - 3)$ .

$- 2 \frac{- 3 (1)}{- 3 (- {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3)}$

Étape 4.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$- 2 \frac{- 3 \cdot 1}{- 3 (- {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3)}$

Étape 4.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$- 2 \frac{1}{- {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$- 2 \frac{1}{- 1 \cdot 9 - 2 \cdot - 3}$

Étape 4.2.2

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 2 \frac{1}{- 9 - 2 \cdot - 3}$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$- 2 \frac{1}{- 9 + 6}$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 9$ et $6$ .

$- 2 (\frac{1}{- 3})$

Étape 4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 2 (- \frac{1}{3})$

Étape 4.4

Multipliez $- 2 (- \frac{1}{3})$ .

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 (\frac{1}{3})$

Étape 4.4.2

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{6}$