Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Étape 1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Étape 1.2.4

Associez $\frac{4}{4}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Étape 1.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Étape 1.2.5.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Étape 1.3

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{4}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{3} + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} + 0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} + 0 + \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Étape 1.4.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$x^{3} + 0 + \frac{3}{3} x^{2}$

Étape 1.4.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$x^{3} + 0 + \frac{3 x^{2}}{3}$

Étape 1.4.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.4.5.1

Annulez le facteur commun.

$x^{3} + 0 + \frac{3 x^{2}}{3}$

Étape 1.4.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{3} + 0 + x^{2}$

Étape 1.5

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$f' (x) = x^{3} + x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 2 x$

Étape 3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 2 x$ .

$3 x^{2} + 2 x$